Теоремы о вероятностях событий

Зачем это в ЕГЭ. В заданиях №4 и №5 — сложение и умножение вероятностей, схема Бернулли, иногда полная вероятность.

Главная идея. Несовместные: $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$. Совместные: $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$. Независимые шаги: $P(A\cap B)=P(A)P(B)$. В общем случае $P(A\cap B)=P(A)P(B|A)$.

Алгоритм (чеклист).
1. Проверить: совместны ли $A$ и $B$, независимы ли этапы (или явно сказано в условии).
2. Для «хотя бы один успех» часто удобно $1-P(\text{все неудачи})$.
3. Полная вероятность: $P(A)=\sum_i P(H_i)P(A|H_i)$ при полной группе гипотез $H_i$.
4. $n$ независимых испытаний, вероятность успеха $p$: $P_n(k)=C_n^k p^k(1-p)^{n-k}$.

Опоры (кратко). $P(\bar A)=1-P(A)$; для двух событий $P(A\cup B)\le P(A)+P(B)$.

Пример 1 (объединение совместных событий). $P(A)=0{,}4$, $P(B)=0{,}5$, $P(A\cap B)=0{,}2$. Найти $P(A\cup B)$.

Шаг 1. Формула для совместных: $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$.

Шаг 2. $0{,}4+0{,}5-0{,}2=0{,}7$.

Шаг 3. Проверка: $0{,}7\ge \max(0{,}4,\,0{,}5)$ и $0{,}7\le 0{,}9$ — согласовано.

Пример 2 (Бернулли). Вероятность попадания в мишень за один выстрел $0{,}3$; три независимых выстрела. Найти вероятность ровно двух попаданий.

Шаг 1. $P_3(2)=C_3^2\cdot 0{,}3^2\cdot 0{,}7$.

Шаг 2. $C_3^2=3$, значит $P=3\cdot0{,}09\cdot0{,}7=0{,}189$.

Шаг 3. Проверка порядка: все $P_3(k)\in[0,1]$.

Типичные ошибки. Складывают вероятности как для несовместных при ненулевом пересечении; умножают «автоматически» без независимости; путают «ровно $k$» и «не менее $k$».

Дальше. Полная вероятность и условная вероятность — соседние карточки и пакет №5 в тренажёре.