Условная вероятность

Зачем это в ЕГЭ. В задании №5 условная вероятность $P(B|A)$ — это «новый мир»: после того как событие $A$ произошло, пересчитываем шансы для $B$. Без ясной выборки легко перепутать $P(B|A)$ и $P(A|B)$.

Главная идея. $P(B|A)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}$ при $P(A)>0$. В конечной равновозможной схеме: $P(B|A)=\dfrac{m_{A\cap B}}{m_A}$, где $m_A$ — число исходов, благоприятных $A$, а $m_{A\cap B}$ — из них благоприятных и $A$, и $B$.

Алгоритм (чеклист).
1. Сформулировать, что значит «$A$ уже произошло» — какое пространство исходов осталось.
2. В новой выборке посчитать благоприятные $B$.
3. Для двух шагов без возвращения — обновить состав после первого шага.
4. Проверить: $0\le P(B|A)\le1$.

Опоры (кратко). $P(A\cap B)=P(A)P(B|A)$; для независимых $P(B|A)=P(B)$.

Пример 1 (урна без возвращения). $3$ белых и $2$ чёрных шара. Достали по очереди два шара без возвращения. Найти $P(\text{второй белый}\mid\text{первый белый})$.

Шаг 1. Если первый белый, в урне осталось $2$ белых и $2$ чёрных, всего $4$ шара.

Шаг 2. Вероятность, что второй белый: $\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$.

Шаг 3. Это и есть $P(B|A)$ в классической схеме на оставшейся выборке.

Пример 2 (два белых подряд). Та же урна. Найти $P(\text{оба белые})$.

Шаг 1. $P(\text{первый белый})=\frac{3}{5}$.

Шаг 2. $P(\text{второй белый}\mid\text{первый белый})=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$.

Шаг 3. $P(\cap)=\frac{3}{5}\cdot\frac{1}{2}=\frac{3}{10}$.

Шаг 4. Проверка комбинаторикой: $C_3^2/C_5^2=3/10$ — согласуется.

Типичные ошибки. Не меняют состав урны после первого извлечения; путают $P(B|A)$ с $P(A|B)$; считают исходы неравновозможными.

Дальше. Дерево вероятностей и полная вероятность — в тренажёре, после этого блока.