Геометрический смысл производной

Зачем это в ЕГЭ. В задании №8 — уравнение касательной, угол наклона, иногда условие параллельности/перпендикулярности двух касательных или прямой и касательной.

Главная идея. Число $f^{\prime}(x_0)$ — угловой коэффициент касательной к графику $y=f(x)$ в точке $x_0$; уравнение касательной:

Алгоритм (чеклист).
1. Явно записать $x_0$ и найти $f(x_0)$ и $f^{\prime}(x)$, затем $f^{\prime}(x_0)$.
2. Подставить в формулу касательной; при необходимости привести к виду $y=kx+b$.
3. Параллельные прямые: $k_1=k_2$; перпендикулярные (оба наклона существуют): $k_1 k_2=-1$.
4. Таблица производных и правила: сумма, произведение, частное, сложная функция.

Опоры (кратко). $(uv)^{\prime}=u^{\prime}v+uv^{\prime}$, $\left(\frac{u}{v}\right)^{\prime}=\frac{u^{\prime}v-uv^{\prime}}{v^2}$, $\bigl(f(g)\bigr)^{\prime}=f^{\prime}(g)\cdot g^{\prime}$.

Пример 1 (уравнение касательной). Пусть $f(x)=x^3-3x^2$, $x_0=2$. Задача ниже учебная, числа не из тренажёра.

Шаг 1. Значение функции: $f(2)=8-12=-4$.

Шаг 2. Производная: $f^{\prime}(x)=3x^2-6x$, в точке $x_0=2$: $f^{\prime}(2)=12-12=0$.

Шаг 3. Касательная горизонтальна: $y=-4+0\cdot(x-2)$, то есть $y=-4$.

Пример 2 (наклон и перпендикуляр). Та же $f(x)=x^3-3x^2$, точка $x_0=3$.

Шаг 1. Производная: $f^{\prime}(x)=3x^2-6x$, значит $f^{\prime}(3)=27-18=9$ — угловой коэффициент касательной $k_1=9$.

Шаг 2. Значение функции: $f(3)=27-27=0$. Уравнение касательной: $y=0+9(x-3)=9x-27$.

Шаг 3. Прямая, перпендикулярная к касательной в этой точке, имеет коэффициент $k_2=-\frac{1}{k_1}=-\frac{1}{9}$ (при $k_1\ne0$).

Шаг 4. Проверка условия перпендикулярности: $k_1 k_2=9\cdot\left(-\frac{1}{9}\right)=-1$ — верно.

Типичные ошибки. Путают $f(x_0)$ и $f^{\prime}(x_0)$; в цепном правиле забывают множитель $g^{\prime}$; при перпендикулярности забывают $k_1 k_2=-1$.

Дальше. Реши в тренажёре задачи на общую касательную и угол наклона.