Исследование функций

Зачем это в ЕГЭ. В заданиях №8 и №12 — монотонность и экстремумы; в №11 — чтение свойств $f$ по графику $f'$.

Главная идея. Если $f'>0$ на интервале, $f$ возрастает; если $f'<0$ — убывает. В точке экстремума (внутри интервала дифференцируемости) часто $f'=0$; смена знака $f'$ с $+$ на $-$ — локальный максимум, с $-$ на $+$ — минимум. На отрезке глобальный макс./мин. — среди критических точек и концов.

Алгоритм (чеклист).
1. Найти $f'(x)$; решить $f'(x)=0$ и отметить точки, где $f$ непрерывна, а $f'$ разрывна или не существует (в рамках ОДЗ).
2. Разбить область на интервалы знакопостоянства $f'$; заполнить «линию знаков».
3. Классифицировать критические точки по смене знака $f'$; для задачи на отрезке вычислить $f$ в нужных точках.
4. По графику $f'$: где $f'>0$, там $f$ растёт; экстремумы $f$ — около нулей $f'$ со сменой знака.

Опоры (кратко). Локальный минимум не обязан быть наименьшим на всей прямой; на отрезке сравнивают все кандидаты.

Пример 1 (экстремумы). $f(x)=x^3-3x$.

Шаг 1. $f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$; критические точки $x=-1$, $x=1$.

Шаг 2. Знак $f'$: $(-\infty,-1)$ плюс, $(-1,1)$ минус, $(1,+\infty)$ плюс.

Шаг 3. Максимум при $x=-1$, минимум при $x=1$.

Пример 2 (на отрезке). $f(x)=x^3-3x$ на $[0,2]$. Наименьшее значение?

Шаг 1. Критическая точка внутри отрезка: $x=1$.

Шаг 2. $f(0)=0$, $f(1)=-2$, $f(2)=2$.

Шаг 3. Наименьшее: $-2$ при $x=1$.

Типичные ошибки. Забывают концы отрезка; не проверяют точки без производной; путают график $f$ и $f'$ в №11.

Дальше. Задачи с параметром в знаменателе и дробные $f'$ — в тренажёре с проверкой ОДЗ.