Наибольшее и наименьшее значение

Зачем это в ЕГЭ. В задании №12 — наибольшее и наименьшее значение непрерывной функции на отрезке $[a,b]$.

Главная идея. Экстремумы на отрезке ищут среди внутренних критических точек ($f'=0$ или $f'$ не существует, но $f$ непрерывна) и обязательно среди концов $a$ и $b$. Наибольшее = максимум из всех вычисленных значений $f$, наименьшее = минимум.

Алгоритм (чеклист).
1. Найти $f'(x)$; решить $f'(x)=0$ на $(a,b)$; добавить точки внутри $(a,b)$, где $f'$ нет (дробь — знаменатель $0$ и т.д.).
2. Отбросить точки вне $[a,b]$.
3. Вычислить $f$ в отобранных точках и в $a$, $b$.
4. Сравнить; не путать «локальный максимум» с глобальным наибольшим на отрезке.

Опоры (кратко). На отрезке непрерывная функция всегда имеет max и min.

Пример 1. $f(x)=x^3-3x$ на $[0,2]$.

Шаг 1. $f'(x)=3x^2-3=0\Rightarrow x=\pm1$; внутри отрезка только $x=1$.

Шаг 2. $f(0)=0$, $f(1)=-2$, $f(2)=2$.

Шаг 3. Наибольшее $2$, наименьшее $-2$.

Пример 2. $f(x)=x^2-4x+5$ на $[-1,3]$.

Шаг 1. $f'(x)=2x-4=0\Rightarrow x=2\in[-1,3]$.

Шаг 2. $f(-1)=1+4+5=10$, $f(2)=4-8+5=1$, $f(3)=9-12+5=2$.

Шаг 3. Наибольшее $10$ при $x=-1$, наименьшее $1$ при $x=2$.

Типичные ошибки. Забывают концы отрезка; оставляют критическую точку вне отрезка; путают задачу «экстремумы функции» с задачей «на отрезке».

Дальше. Тайминговый пакет №12 и функции с параметром в знаменателе (с ОДЗ).