Первообразная

Зачем это в ЕГЭ. В профиле — связка «первообразная — площадь под графиком», восстановление $F$ по $f=F'$, задачи на определённый интеграл в стандартных пределах.

Главная идея. $F$ — первообразная для $f$ на интервале, если $F'(x)=f(x)$. $\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)$ (формула Ньютона — Лейбница) при непрерывности $f$ на $[a,b]$. Неопределённый вид: всегда $+C$.

Алгоритм (чеклист).
1. Распознать табличную часть: степени, $\sin x$, $\cos x$, $e^x$, $\frac{1}{x}$ на $(0,+\infty)$.
2. Линейность: $\int (kf+g)=k\int f+\int g$.
3. Для $\int_a^b$: найти любую первообразную $F$, вычислить $F(b)-F(a)$.
4. Не забыть: $(x^{n+1}/(n+1))'$ при $n\ne-1$.

Опоры (кратко). $\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$ при $n\ne-1$; $\int\cos x\,dx=\sin x+C$.

Пример 1 (первообразная). $f(x)=2x+\cos x$.

Шаг 1. По таблице: первообразная $x^2$ для $2x$, $\sin x$ для $\cos x$.

Шаг 2. $F(x)=x^2+\sin x+C$.

Шаг 3. Проверка: $F'(x)=2x+\cos x=f(x)$.

Пример 2 (определённый интеграл). $\int_0^2 x^2\,dx$.

Шаг 1. Первообразная $\frac{x^3}{3}$.

Шаг 2. $\frac{8}{3}-\frac{0}{3}=\frac{8}{3}$.

Шаг 3. Площадь положительна — согласуется со знаком $x^2\ge0$.

Типичные ошибки. Забывают $+C$ в неопределённом виде; ошибка в степени при интегрировании $x^n$; путают $F(b)-F(a)$ с $F(a)-F(b)$.

Дальше. Восстановление функции по производной с начальным условием — в тренажёре.