Линейные и квадратные уравнения

Зачем это в ЕГЭ. В задании №6 нужно быстро решать линейные и квадратные уравнения: привести к стандартному виду, посчитать дискриминант или подобрать корни по Виету, не теряя корни при делениях.

Главная идея. Линейное $ax+b=0$ при $a\ne0$ даёт $x=-b/a$. Квадратное $ax^2+bx+c=0$: дискриминант $D=b^2-4ac$, при $D\ge0$ корни $x=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}$; теорема Виета связывает сумму и произведение корней с коэффициентами.

Алгоритм (чеклист).
1. Линейное: перенести слагаемые, получить $ax=b$, разделить на $a$ (проверить $a\ne0$).
2. Квадратное: привести к $ax^2+bx+c=0$, найти $D$.
3. Если $D<0$ — нет действительных корней (в №6 обычно $D\ge0$); если $D\ge0$ — формула корней.
4. Удобный случай: разложение $(x-x_1)(x-x_2)=0$ или подбор по Виету.
5. После деления на выражение с $x$ — проверить, не потерян ли корень, обращающий множитель в ноль.

Опоры (кратко). $x_1+x_2=-b/a$, $x_1x_2=c/a$; для приведённого $x^2+px+q=0$ сумма $-p$, произведение $q$.

Пример 1 (линейное). Решим $5(x-2)=2x+11$ (учебная задача, не из тренажёра).

Шаг 1. Раскрываем скобки: $5x-10=2x+11$.

Шаг 2. Переносим: $5x-2x=11+10$, то есть $3x=21$.

Шаг 3. $x=7$. Проверка: $5(7-2)=25$, $2\cdot7+11=25$ — верно.

Пример 2 (квадратное). Решим $2x^2-5x+2=0$.

Шаг 1. $D=(-5)^2-4\cdot2\cdot2=25-16=9$, $\sqrt{D}=3$.

Шаг 2. $x=\frac{5\pm3}{4}$: $x_1=2$, $x_2=\frac{1}{2}$.

Шаг 3. Проверка для $x=2$: $2\cdot4-10+2=0$. Для $x=\frac{1}{2}$: $2\cdot\frac{1}{4}-\frac{5}{2}+2=0$.

Типичные ошибки. Ошибка в $D$; деление на $a$ при $a=0$; путают знаки в Виете; теряют корень после сокращения общего множителя.

Дальше. Открой тренажёр по теме: другие коэффициенты, те же шаги — так закрепляется навык.