Линейные и квадратичные функции

Зачем это в ЕГЭ. В задании №11 — читать и восстанавливать свойства линейной и квадратичной функций по графику.

Главная идея. Прямая $y=kx+b$: $k=\mathrm{tg}\alpha$ наклона к оси $x$, $b=f(0)$. Парабола $y=ax^2+bx+c$: знак $a$ — ветви вверх/вниз; вершина $x_v=-\frac{b}{2a}$, ось симметрии $x=x_v$; дискриминант — число корней.

Алгоритм (чеклист).
1. По графику прямой: взять две целые точки, найти $\Delta y/\Delta x=k$; $b$ — отрезок на оси $y$.
2. По параболе: нули из пересечений с $Ox$, вершина как максимум/минимум, симметрия относительно вершины.
3. Сравнить $f(x_1)$ и $f(x_2)$ по положению точек выше/ниже на рисунке.
4. Модуль $|x-a|$ — излом; разбирать по интервалам.

Опоры (кратко). $y=a(x-x_1)(x-x_2)$ при известных нулях.

Пример 1 (парабола). $y=x^2-4x+3$. Нули и вершина.

Шаг 1. $y=(x-1)(x-3)$ — нули $1$ и $3$.

Шаг 2. $x_v=-\frac{-4}{2}=2$, $y(2)=4-8+3=-1$.

Шаг 3. Ветви вверх ($a=1>0$), вершина минимум — согласуется.

Пример 2 (прямая). Прямая проходит через $(0,2)$ и $(2,6)$. Найти $k$ и $b$.

Шаг 1. $b=2$ из точки $(0,2)$.

Шаг 2. $k=\frac{6-2}{2-0}=2$.

Шаг 3. $y=2x+2$; проверка: $x=2\Rightarrow y=6$.

Типичные ошибки. Неверно считают $x_v$; путают значение функции и производную; забывают про знак $a$ у параболы.

Дальше. Задачи №11 с параметром на графике — в тренажёре.