Показательные и логарифмические

Зачем это в ЕГЭ. Задание №11 — 1 первичный балл. По графику $y=a^x$ или $y=\log_a x$ нужно определить основание, прочитать значение функции, установить область значений, найти точку пересечения со сдвинутой кривой или сравнить два графика.

Главная идея. При $a>1$ обе функции ($a^x$ и $\log_a x$) возрастают; при $0<a<1$ — убывают. Опорные точки: $a^0=1$ (график проходит через $(0,1)$); $\log_a 1=0$ (через $(1,0)$). Чем больше основание $a>1$, тем «круче» растёт $a^x$ при $x>0$.

Алгоритм (чеклист).
1. По форме кривой определить тип: экспонента (горизонтальная асимптота слева/справа) или логарифм (вертикальная асимптота $x=0$).
2. По опорной точке ($(0,1)$ для экспоненты или $(1,0)$ для логарифма) подобрать основание: подставить координаты точки в формулу и решить уравнение.
3. Для сдвигов $y=a^{x-h}+k$: горизонтальная асимптота $y=k$, сдвиг вправо на $h$.
4. Сравнить два графика: при $x>0$ и основаниях $a>b>1$ справедливо $a^x>b^x$; при $x<0$ — наоборот.

Опоры (кратко).
- $\log_a x = \frac{\ln x}{\ln a}$ — формула перехода к натуральному логарифму.
- Вертикальная асимптота $y=\log_a x$: $x\to 0^+$, $y\to-\infty$ (при $a>1$).
- Горизонтальная асимптота $y=a^x$: $x\to-\infty$, $y\to 0^+$ (при $a>1$).

Пример 1 (найти основание по графику). График $y=a^x$ проходит через точку $(2;\,9)$. Найти $a$.

Шаг 1. Подставляем: $a^2=9$.

Шаг 2. $a=3$ (основание положительно и $\ne1$).

Шаг 3. Проверка: $3^0=1$ — опорная точка верна; $3^1=3$, $3^2=9$ — график возрастает.

Пример 2 (сравнить два графика). На рисунке два графика вида $y=a^x$: один проходит через $(1;\,2)$, другой — через $(1;\,0{,}5)$. Определить, какой возрастает, какой убывает, и назвать основания.

Шаг 1. $a_1^1=2 \Rightarrow a_1=2>1$ — возрастающий.

Шаг 2. $a_2^1=0{,}5 \Rightarrow a_2=\frac{1}{2}\in(0,1)$ — убывающий.

Шаг 3. При $x<0$: убывающая функция даёт значения $>1$, возрастающая — значения $<1$. Пересечение в точке $(0;\,1)$.

Пример 3 (логарифм по точке на графике). График $y=\log_a x$ проходит через $(8;\,3)$. Найти $a$ и вычислить $\log_a\!\left(\frac{1}{a}\right)$.

Шаг 1. $\log_a 8=3 \Rightarrow a^3=8 \Rightarrow a=2$.

Шаг 2. $\log_2\!\left(\frac{1}{2}\right)=\log_2(2^{-1})=-1$.

Шаг 3. Проверка: $2^{-1}=0{,}5$ — точка $(0{,}5;\,-1)$ на графике.

Типичные ошибки.
1. Путают $y=2^x$ и $y=x^2$ — первая проходит через $(0,1)$, вторая через $(0,0)$.
2. Принимают основание $a<1$ за «убывающую экспоненту», но считают как возрастающую (забывают про ветвь).
3. Нарушают ОДЗ логарифма — подставляют $x\le0$.
4. Неверно читают сдвиг: $y=2^{x-3}$ сдвинута вправо на $3$, а не влево.

Дальше. Тригонометрические графики — следующая карточка, затем смешанный пакет №11 в тренажёре.