Таблицы истинности (задание 2)

Зачем это в ЕГЭ.
Задание 2 проверяет умение строить и анализировать таблицы истинности логических выражений. Это одно из базовых заданий, даёт 1 первичный балл. Встречается в каждом варианте ЕГЭ, часто с усложнением в виде большого числа переменных или сложной логической структуры.

Главная идея.
Таблица истинности — это способ наглядно представить все возможные значения логического выражения при различных комбинациях входных переменных. Ключ к решению — систематический перебор всех возможных значений переменных и последовательное вычисление выражения.

Алгоритм (чеклист).
1. Определи количество переменных в выражении.
2. Построй таблицу со всеми возможными комбинациями значений переменных (их будет $2^n$, где $n$ — количество переменных).
3. Вычисли значение выражения для каждой комбинации, последовательно применяя логические операции.
4. Проверь, соответствует ли результат условию задачи (например, количество строк с определённым значением).

Опоры (кратко).
- Количество строк в таблице: $2^n$, где $n$ — количество переменных.
- Основные логические операции:
- $A \land B$ (И) — истинно, если оба аргумента истинны.
- $A \lor B$ (ИЛИ) — истинно, если хотя бы один аргумент истинен.
- $\lnot A$ (НЕ) — инверсия значения.
- $A \rightarrow B$ (импликация) — ложь только если $A$ истинно, а $B$ ложно.

Пример 1 (базовый подтип)
Дано выражение: $(A \lor B) \land \lnot C$. Построй таблицу истинности и определи, сколько строк дают значение 1.

Шаг 1. Определяем переменные: $A$, $B$, $C$.
Шаг 2. Строим таблицу с $2^3 = 8$ строк.
Шаг 3. Заполняем значения переменных:
| A | B | C |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
Шаг 4. Вычисляем $(A \lor B) \land \lnot C$ для каждой строки.
Шаг 5. Считаем строки с результатом 1: их 3.

Пример 2 (усложнённый подтип)
Дано выражение: $(A \rightarrow B) \land (B \lor \lnot C)$. Найдите количество строк, где выражение ложно.

Шаг 1. Определяем переменные: $A$, $B$, $C$.
Шаг 2. Строим таблицу с $2^3 = 8$ строк.
Шаг 3. Заполняем значения переменных.
Шаг 4. Вычисляем $(A \rightarrow B) \land (B \lor \lnot C)$ для каждой строки.
Шаг 5. Считаем строки с результатом 0: их 2.

Типичные ошибки.
1. Неправильный подсчёт строк. Забывают, что количество строк равно $2^n$.
2. Ошибки в порядке операций. Путают приоритет логических операций.
3. Неправильное вычисление импликации. Забывают, что $A \rightarrow B$ ложно только при $A=1$, $B=0$.
4. Пропуск проверки. Не проверяют результат на соответствие условию задачи.

Дальше.
Переходи к заданиям на анализ логических выражений с большим числом переменных.