Логические выражения и числовые интервалы (задание 15)

Зачем это в ЕГЭ. Задание 15 проверяет умение анализировать логические выражения и числовые интервалы. Даёт 1 первичный балл, встречается в 80% вариантов. Ключевые навыки: работа с неравенствами, множествами, логическими операторами.

Главная идея. Нужно найти все целые числа, удовлетворяющие системе условий. Обычно это комбинация неравенств и логических выражений. Главное — правильно преобразовать условия и найти пересечение решений.

Алгоритм (чеклист).
1. Разбить сложное выражение на простые условия.
2. Решить каждое неравенство/уравнение отдельно.
3. Построить числовую ось и отметить решения.
4. Найти пересечение решений (где выполняются ВСЕ условия).
5. Проверить граничные точки.
6. Записать ответ в требуемой форме (перечисление или интервал).

Опоры (кратко).
- Логические операторы: $\land$ (И), $\lor$ (ИЛИ), $\neg$ (НЕ)
- Кванторы: $\forall$ (для всех), $\exists$ (существует)
- Формула включений-исключений: $|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$
- Свойства неравенств: при умножении на отрицательное число знак меняется

Пример 1 (интервалы и логическое И).
Шаг 1. Дано: $(x > 5) \land (x < 10) \land (x \mod 2 = 0)$.
Шаг 2. Решаем $x > 5$: $x \in (5; +\infty)$.
Шаг 3. Решаем $x < 10$: $x \in (-\infty; 10)$.
Шаг 4. Пересечение: $x \in (5; 10)$.
Шаг 5. Добавляем чётность: $x \in \{6, 8\}$.
Шаг 6. Ответ: $6, 8$.

Пример 2 (кванторы и сложные условия).
Шаг 1. Дано: $\forall x \in [1; 3], (x^2 > a) \lor (x < 2)$.
Шаг 2. Разбираем квантор: условие должно выполняться для всех $x$ от 1 до 3.
Шаг 3. Анализируем $(x^2 > a)$ и $(x < 2)$.
Шаг 4. Минимальное $x^2$ на интервале: $1^2 = 1$ (при $x=1$).
Шаг 5. Значит, $a < 1$ гарантирует выполнение условия.
Шаг 6. Ответ: $a \in (-\infty; 1)$.

Типичные ошибки.
1. Путаница с кванторами — неверная интерпретация $\forall$ и $\exists$.
2. Граничные точки — забыли проверить $=$ в неравенствах.
3. Приоритет операций — неправильная расстановка скобок в логических выражениях.
4. Потеря решений — не учли все условия при пересечении множеств.
5. Арифметические ошибки — особенно при работе с модулями и делением.

Дальше. Решай задачи с параметрами и комбинаторной логикой из банка ФИПИ.