Законы алгебры логики (де Морган, дистрибутивность)

Зачем это в ЕГЭ. Задания на законы алгебры логики встречаются в №2 (1 первичный балл) и №15 (1 первичный балл). Проверяют умение упрощать выражения и находить значения переменных. Встречаются в 80% вариантов.

Главная идея. Логические выражения можно преобразовывать аналогично алгебраическим, используя законы де Моргана и дистрибутивности. Ключ — увидеть структуру выражения и применить нужный закон.

Алгоритм (чеклист).
1. Выписать все переменные и операции.
2. Определить приоритет операций (скобки, НЕ, И, ИЛИ).
3. Применить закон де Моргана, если есть отрицание скобки: $\neg(A \lor B) = \neg A \land \neg B$.
4. Раскрыть скобки по дистрибутивности: $A \lor (B \land C) = (A \lor B) \land (A \lor C)$.
5. Упростить выражение, используя законы поглощения и исключения.
6. Проверить результат подстановкой значений переменных.

Опоры (кратко).
- Закон де Моргана: $\neg(A \land B) = \neg A \lor \neg B$
- Дистрибутивность: $A \land (B \lor C) = (A \land B) \lor (A \land C)$
- Законы поглощения: $A \lor (A \land B) = A$

Пример 1 (упрощение выражения).
Дано: $\neg(X \lor \neg Y) \land \neg(\neg X \land Y)$
Шаг 1. Применяем де Моргана к первой скобке: $\neg X \land Y$.
Шаг 2. Применяем де Моргана ко второй скобке: $X \lor \neg Y$.
Шаг 3. Получаем: $(\neg X \land Y) \land (X \lor \neg Y)$.
Шаг 4. Раскрываем скобки: $(\neg X \land Y \land X) \lor (\neg X \land Y \land \neg Y)$.
Шаг 5. Упрощаем: $0 \lor 0 = 0$.

Пример 2 (поиск значений переменных).
Дано: $(A \lor B) \land \neg B = 1$. Найти значения A и B.
Шаг 1. $\neg B = 1 \Rightarrow B = 0$.
Шаг 2. Подставляем: $(A \lor 0) \land 1 = A \land 1 = A = 1$.

Типичные ошибки.
1. Путаница в приоритетах операций — сначала НЕ, потом И, затем ИЛИ.
2. Неправильное применение де Моргана — забывают инвертировать операции внутри скобок.
3. Потеря скобок при раскрытии — нарушается порядок операций.
4. Подстановка без упрощения — пытаются решить перебором вместо логических преобразований.

Дальше. Переходи к решению систем логических уравнений, используя эти законы.