Тригонометрические функции

Зачем это в ЕГЭ. Задание №11 — 1 первичный балл. По графику тригонометрической функции нужно определить параметры формулы или найти значение выражения. Типичные задачи: определить амплитуду, период, сдвиг; найти $f(x_0)$ по графику; указать, при каких $x$ функция принимает нужное значение.

Главная идея. Всё сводится к формуле $y=A\sin(\omega x+\varphi)+B$: амплитуда $|A|=\frac{y_{\max}-y_{\min}}{2}$, средняя линия $B=\frac{y_{\max}+y_{\min}}{2}$, период $T=\frac{2\pi}{|\omega|}$. Для косинуса — те же правила. Для тангенса: период $\frac{\pi}{|\omega|}$, нет амплитуды.

Алгоритм (чеклист).
1. По графику снять $y_{\max}$ и $y_{\min}$; найти $|A|$ и $B$.
2. Измерить расстояние между двумя соседними максимумами (или нулями одного знака) — это период $T$; найти $\omega=\frac{2\pi}{T}$.
3. Для фазового сдвига: найти ближайший «стартовый» максимум/ноль и сравнить с эталоном $\sin x$.
4. Не путать радианы и градусы на оси $x$; перевод: $180^\circ=\pi$.

Опоры (кратко).
- Амплитуда: $|A|=\frac{y_{\max}-y_{\min}}{2}$; средняя линия: $B=\frac{y_{\max}+y_{\min}}{2}$.
- Период: $T =$ расстояние между двумя максимумами (или между соседними нулями одного знака × 2).
- $\sin 0=0$, $\sin\frac{\pi}{2}=1$, $\cos 0=1$, $\cos\pi=-1$ — опорные точки для чтения графика.

Пример 1 (прочитать параметры по графику). График синусоиды имеет максимум $y=5$ и минимум $y=-1$; расстояние между соседними максимумами равно $4\pi$. Записать формулу.

Шаг 1. $|A|=\frac{5-(-1)}{2}=3$; $B=\frac{5+(-1)}{2}=2$.

Шаг 2. $T=4\pi$, значит $\omega=\frac{2\pi}{4\pi}=\frac{1}{2}$.

Шаг 3. Нет горизонтального сдвига: $y=3\sin\!\left(\frac{x}{2}\right)+2$.

Шаг 4. Проверка: при $x=\pi$ получим $y=3\sin\frac{\pi}{2}+2=3+2=5=y_{\max}$ — верно.

Пример 2 (определить период и сравнить две функции). На одном рисунке изображены $y=\sin x$ и $y=\sin(3x)$. Найти период $y=\sin(3x)$ и количество нулей на отрезке $[0;2\pi]$.

Шаг 1. $\omega=3$, $T=\frac{2\pi}{3}$.

Шаг 2. На $[0;2\pi]$ укладывается $\frac{2\pi}{T}=3$ полных периода. Нули $\sin(3x)=0$: $3x=\pi n$, то есть $x=0,\frac{\pi}{3},\frac{2\pi}{3},\pi,\frac{4\pi}{3},\frac{5\pi}{3},2\pi$ — 7 нулей (включая концы).

Шаг 3. Сравнение с $\sin x$: у $\sin x$ на $[0;2\pi]$ — 3 нуля; у $\sin(3x)$ — 7. Быстрее колеблется.

Пример 3 (задание по графику с вертикальным сдвигом). По графику установлено: $y_{\max}=4$, $y_{\min}=0$, $T=\pi$. Записать формулу $y=A\cos(\omega x)+B$.

Шаг 1. $|A|=2$, $B=2$.

Шаг 2. $\omega=\frac{2\pi}{\pi}=2$.

Шаг 3. $y=2\cos(2x)+2$. Проверка: при $x=0$: $y=2\cdot1+2=4=y_{\max}$.

Типичные ошибки.
1. Принимают полупериод за период — забывают, что между двумя нулями одного знака расстояние = $T$, а не $T/2$.
2. Не замечают вертикальный сдвиг — читают амплитуду как $y_{\max}$, а не как $\frac{y_{\max}-y_{\min}}{2}$.
3. Путают $\sin$ и $\cos$ по «старту»: $\sin 0=0$ (график стартует из нуля), $\cos 0=1$ (стартует из максимума).
4. Смешивают градусы и радианы при подстановке.

Дальше. Показательные и логарифмические графики — следующая карточка, затем пакет №11 в тренажёре.