Позиционные системы счисления (2, 8, 16)

Зачем это в ЕГЭ. Задание №5 проверяет умение работать с числами в различных системах счисления. Оно даёт 1 первичный балл и встречается почти в каждом варианте ЕГЭ. Основные подтипы задач: перевод чисел между системами, выполнение арифметических операций и анализ чисел в разных системах.

Главная идея. Позиционная система счисления — это способ записи чисел, где значение каждой цифры зависит от её позиции. Ключ к решению задач — понимание, что число в любой системе можно представить как сумму степеней основания системы, умноженных на соответствующие цифры.

Алгоритм (чеклист).
1. Определи основание системы счисления.
2. Если нужно перевести число в десятичную систему, разложи его на сумму степеней основания.
3. Для перевода из десятичной системы используй метод деления с остатком.
4. Выполняй арифметические операции в одной системе или переводи числа в десятичную для удобства.
5. Проверь результат, переведя его обратно в исходную систему.

Опоры (кратко).
- Число в позиционной системе: $N = d_n \cdot b^n + d_{n-1} \cdot b^{n-1} + \dots + d_0 \cdot b^0$, где $b$ — основание.
- Перевод из десятичной системы: последовательное деление на основание с записью остатков.
- Перевод в десятичную систему: суммирование степеней основания.

Пример 1 (перевод между системами).
Шаг 1. Дано число $1011_2$.
Шаг 2. Разложим его на сумму степеней основания 2: $1 \cdot 2^3 + 0 \cdot 2^2 + 1 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0$.
Шаг 3. Вычислим: $8 + 0 + 2 + 1 = 11_{10}$.
Шаг 4. Ответ: $11_{10}$.

Пример 2 (арифметические операции).
Шаг 1. Даны числа $101_2$ и $11_2$.
Шаг 2. Переведём их в десятичную систему: $101_2 = 5_{10}$, $11_2 = 3_{10}$.
Шаг 3. Выполним сложение: $5 + 3 = 8_{10}$.
Шаг 4. Переведём результат обратно в двоичную систему: $8_{10} = 1000_2$.
Шаг 5. Ответ: $1000_2$.

Типичные ошибки.
1. Путаница с основанием системы. Например, забывают, что в двоичной системе основание равно 2.
2. Неправильный перевод чисел. Например, не учитывают нулевые степени при разложении.
3. Ошибки в арифметических операциях. Например, складывают числа в разных системах без перевода.
4. Неправильная запись результата. Например, забывают указать основание системы.
5. Пропуск проверки. Например, не переводят результат обратно для проверки.

Дальше. Освойте задачи на анализ чисел в разных системах, включая сравнение и поиск закономерностей.