Перестановки и комбинации (формулы)

Зачем это в ЕГЭ. Задание №8 проверяет умение решать задачи на комбинаторику и теорию вероятностей. Оно оценивается в 1 первичный балл и встречается практически в каждом варианте ЕГЭ. Часто требуется подсчитать количество возможных комбинаций или вероятность события.

Главная идея. Ключ к решению — правильно определить тип задачи (перестановки, размещения, сочетания) и применить соответствующую формулу. Важно учитывать условия задачи, такие как повторения элементов или порядок их следования.

Алгоритм (чеклист).
1. Определить тип задачи: перестановки, размещения или сочетания.
2. Проверить, есть ли повторяющиеся элементы или ограничения на порядок.
3. Выбрать подходящую формулу для подсчёта комбинаций.
4. Подставить значения в формулу и вычислить результат.
5. Проверить, соответствует ли ответ условию задачи.

Опоры (кратко).
- Перестановки без повторений: $P_n = n!$
- Перестановки с повторениями: $P(n_1, n_2, ..., n_k) = \frac{n!}{n_1! \cdot n_2! \cdot ... \cdot n_k!}$
- Размещения без повторений: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$
- Сочетания без повторений: $C_n^k = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}$

Пример 1 (перестановки с повторениями).
Сколько различных слов можно составить из букв слова "МАТЕМАТИКА"?
Шаг 1. Определить количество букв: 10.
Шаг 2. Учесть повторяющиеся буквы: М (2), А (3), Т (2), Е (1), И (1), К (1).
Шаг 3. Применить формулу перестановок с повторениями: $P(2, 3, 2, 1, 1, 1) = \frac{10!}{2! \cdot 3! \cdot 2! \cdot 1! \cdot 1! \cdot 1!}$.
Шаг 4. Вычислить: $\frac{3628800}{2 \cdot 6 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1} = 151200$.
Шаг 5. Ответ: 151200 слов.

Пример 2 (сочетания).
Сколькими способами можно выбрать 3 книги из 10 различных?
Шаг 1. Определить тип задачи: сочетания без повторений.
Шаг 2. Применить формулу сочетаний: $C_{10}^3 = \frac{10!}{3! \cdot 7!}$.
Шаг 3. Вычислить: $\frac{3628800}{6 \cdot 5040} = 120$.
Шаг 4. Ответ: 120 способов.

Типичные ошибки.
1. Путаница между перестановками и сочетаниями. Не учитывается порядок элементов, когда это необходимо.
2. Неправильный учёт повторений. Забывают делить на факториалы повторяющихся элементов.
3. Ошибки в вычислениях. Неправильно вычисляют факториалы или пропускают шаги.
4. Неверный выбор формулы. Применяют формулу размещений вместо сочетаний или наоборот.
5. Несоответствие ответа условию. Ответ не проверяется на логическую корректность.

Дальше. Потренируйтесь на задачах с более сложными условиями, например, с ограничениями на порядок или повторениями.