Подсчёт в позиционных системах счисления

Зачем это в ЕГЭ. Задание 8 проверяет умение работать с позиционными системами счисления (2 балла). Встречается в 80% вариантов. Проверяет навыки перевода чисел между системами, выполнения арифметических операций и анализа условий.

Главная идея. Позиционная система — способ записи чисел, где значение цифры зависит от её позиции. Ключ — разложение числа по степеням основания: $123_4 = 1 \cdot 4^2 + 2 \cdot 4^1 + 3 \cdot 4^0$.

Алгоритм (чеклист).
1. Определить основание системы счисления.
2. Перевести все числа в десятичную систему (если требуется).
3. Выполнить указанные операции (сравнение, сложение и т.д.).
4. Проверить ограничения (например, цифры меньше основания).
5. Перевести результат обратно в нужную систему (если требуется).

Опоры (кратко).
- Формула перевода: $\sum_{k=0}^{n} a_k \cdot p^k$
- Максимальная цифра: $p-1$
- Быстрый перевод $2^n \leftrightarrow 8, 16$ через триады/тетрады

Пример 1 (перевод с условием).
Шаг 1. Дано: $N = 2A7_{14}$, $A$ — чётная цифра.
Шаг 2. Основание 14 → допустимые цифры: $0-9, A-D$ ($A=10$).
Шаг 3. Чётные варианты для $A$: $10, 12$.
Шаг 4. Переводим оба случая:
$2 \cdot 14^2 + 10 \cdot 14 + 7 = 535$
$2 \cdot 14^2 + 12 \cdot 14 + 7 = 567$
Шаг 5. Ответ: 535 и 567.

Пример 2 (операции в разных системах).
Шаг 1. Дано: $101_2 + 12_8 = X_5$.
Шаг 2. Переводим в десятичную:
$101_2 = 5_{10}$, $12_8 = 10_{10}$.
Шаг 3. Сумма: $5 + 10 = 15_{10}$.
Шаг 4. Переводим $15_{10}$ в пятеричную: $15 = 3 \cdot 5 + 0 → 30_5$.

Типичные ошибки.
1. Невнимание к основанию — использование цифр $\geq$ основания.
2. Ошибки в разрядах — путаница степеней при переводе.
3. Арифметические ошибки — особенно в системах кроме 10.
4. Потеря условий — например, пропуск ограничений на цифры.

Дальше. Решать задачи на смешанные системы счисления и неравенства.