Физический смысл производной

Зачем это в ЕГЭ. В задании №9 — путь $s(t)$, скорость $v(t)=s'(t)$, ускорение $a(t)=v'(t)$; «скорость роста» численной величины — производная по времени.

Главная идея. Если $s(t)$ — координата на прямой, то $s'(t)$ — мгновенная скорость; если $N(t)$ — число особей, $N'(t)$ — скорость изменения численности. Знак производной — возрастание/убывание процесса.

Алгоритм (чеклист).
1. Из текста выписать, что является функцией времени: путь, скорость, масса и т.д.
2. Дифференцировать по $t$ нужный порядок; в точке $t_0$ подставить $t_0$.
3. Для вопроса «когда скорость нулевая/максимальна» — решить $v'(t)=0$ или исследовать $v$ на отрезке.
4. Следить за единицами в ответе (м/с, м/с$^2$), если их требуют в бланке.

Опоры (кратко). Для $s(t)=at^2+bt+c$: $v(t)=2at+b$, $a(t)=2a$ (постоянное ускорение).

Пример 1. $s(t)=5t^2-3t$ (м). Найти скорость в момент $t=2$ с.

Шаг 1. $v(t)=s'(t)=10t-3$.

Шаг 2. $v(2)=20-3=17$ м/с.

Шаг 3. Размерность: производная метра по секунде — м/с, ок.

Пример 2. Та же $s(t)=5t^2-3t$. В какой момент мгновенная скорость равна нулю?

Шаг 1. $10t-3=0\Rightarrow t=0{,}3$ с.

Шаг 2. При малых $t$ скорость отрицательна, при больших положительна — в $t=0{,}3$ смена знака (минимум пути вдоль прямой в этой модели).

Шаг 3. Подстановка: $v(0{,}3)=0$.

Типичные ошибки. Путают ускорение и скорость; дифференцируют не по тому аргументу; забывают единицы; подставляют время в $s$ вместо $v$.

Дальше. Максимум скорости, пройденный путь за интервал — пакет №9 в тренажёре.