Прикладные задачи на уравнения

Зачем это в ЕГЭ. В задании №9 — из текста получают уравнение с показателем, логарифмом или степенью; нужно аккуратно решить и проверить смысл корня.

Главная идея. Выделить неизвестную в показателе или под логарифмом; при $e^{kt}$ и $a^{kt}$ часто логарифмируют обе части; для $\log_a$ следить за ОДЗ: аргумент $>0$, основание $>0$, $\ne1$.

Алгоритм (чеклист).
1. Переписать условие как равенство $f(t)=C$ или $f(t)=g(t)$; обозначить, что ищем ($t$, $x$, число лет и т.д.).
2. Упростить: вынести степень, заменить $u=e^{kt}$ или $u=a^x$ при необходимости.
3. Решить алгебраически; каждый корень проверить в исходной модели и по смыслу (время $\ge0$, концентрация в допустимых пределах).
4. Сравнение двух режимов — свести к одному неизвестному или к неравенству на монотонном выражении.

Опоры (кратко). $\ln(ab)=\ln a+\ln b$; $(a^m)^n=a^{mn}$ при $a>0$.

Пример 1 (охлаждение). $T(t)=20+80e^{-0{,}1t}=40$ (температура через $t$ ч). Найти $t$.

Шаг 1. $80e^{-0{,}1t}=20\Rightarrow e^{-0{,}1t}=\frac{1}{4}$.

Шаг 2. $-0{,}1t=\ln\frac{1}{4}=-\ln4\Rightarrow t=10\ln4$.

Шаг 3. $t>0$ — согласуется с физическим смыслом.

Пример 2 (показательное). $3^{2x-1}=27$. Найти $x$.

Шаг 1. $27=3^3$, основание одно: $2x-1=3$.

Шаг 2. $x=2$.

Шаг 3. Проверка: $3^{3}=27$.

Типичные ошибки. Путают знак в показателе $e^{-kt}$; логарифмируют без проверки положительности; теряют корни при замене.

Дальше. Смешанный пакет №9 в тренажёре.