Равновероятные события и информация

Зачем это в ЕГЭ. Задание 11 проверяет умение анализировать равновероятные события и вычислять количество информации (1 первичный балл). Встречается в 30% реальных вариантов ФИПИ. Проверяет понимание формулы Хартли и её применение в неочевидных контекстах.

Главная идея. Если все исходы события равновероятны, количество информации вычисляется как логарифм числа возможных исходов. Ключ — правильно определить, что считать «исходом» в условии задачи (например, комбинации, последовательности или выборки).

Алгоритм (чеклист).
1. Определить, какие исходы считать равновероятными.
2. Посчитать общее количество возможных исходов $N$.
3. Проверить, что все исходы действительно равновероятны (если нет — задача не на эту тему).
4. Применить формулу Хартли: $i = \log_2 N$.
5. Если ответ нужен в битах, округлить до целого.

Опоры (кратко).
- Формула Хартли: $i = \log_2 N$, где $N$ — число равновероятных исходов.
- Свойства логарифмов: $\log_2 (ab) = \log_2 a + \log_2 b$, $\log_2 (a^k) = k \log_2 a$.
- Для последовательностей: $N = k^n$, где $k$ — варианты на каждом шаге, $n$ — длина.

Пример 1 (базовый).
Шаг 1. В соревновании участвуют 8 спортсменов. Все имеют равные шансы на победу.
Шаг 2. Число исходов $N = 8$.
Шаг 3. Применяем формулу: $i = \log_2 8 = 3$ бита.
Ответ: 3.

Пример 2 (составные события).
Шаг 1. Автомат генерирует 5-буквенные слова из букв A, B, C. Буквы независимы, все комбинации равновероятны.
Шаг 2. На каждую позицию 3 варианта, всего $N = 3^5 = 243$.
Шаг 3. $i = \log_2 243 \approx 7.92$.
Шаг 4. Округляем до целого: 8 бит.
Ответ: 8.

Типичные ошибки.
1. Неверный подсчёт исходов — например, путают перестановки и размещения.
2. Игнорирование условия равновероятности — применяют формулу, когда исходы имеют разную вероятность.
3. Ошибки в степенях — забывают возводить в степень при последовательностях.
4. Некорректное округление — сдают дробный ответ вместо целого (в битах).

Дальше. Разбери задачи на неравновероятные события (формулу Шеннона).