Перевод из двоичной в десятичную и обратно

Зачем это в ЕГЭ. Задание 14 (1 первичный балл) проверяет умение переводить числа между двоичной и десятичной системами счисления. Встречается в 80% реальных вариантов, часто комбинируется с другими темами (например, побитовые операции).

Главная идея. Двоичная система — позиционная, где каждая цифра соответствует степени двойки. Для перевода нужно либо суммировать степени двойки (из двоичной в десятичную), либо находить максимальные степени двойки (из десятичной в двоичную).

Алгоритм (чеклист).
1. Для перевода из двоичной в десятичную:
1. Пронумеруйте разряды справа налево, начиная с 0.
2. Умножьте каждую цифру на 2 в степени её разряда.
3. Сложите результаты.
2. Для перевода из десятичной в двоичную:
1. Найдите максимальную степень двойки, не превышающую число.
2. Запишите 1 в соответствующий разряд.
3. Вычтите эту степень из числа.
4. Повторяйте шаги 1-3 для остатка, пока не получите 0.
5. Заполните пропущенные разряды нулями.

Опоры (кратко).
- Формула перевода из двоичной: $N_{10} = d_n \cdot 2^n + d_{n-1} \cdot 2^{n-1} + ... + d_0 \cdot 2^0$
- Степени двойки: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024

Пример 1 (из двоичной в десятичную).
Дано: 1101011₂
Шаг 1. Нумеруем разряды: 1(6) 1(5) 0(4) 1(3) 0(2) 1(1) 1(0)
Шаг 2. Вычисляем: $1 \cdot 2^6 + 1 \cdot 2^5 + 0 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 0 \cdot 2^2 + 1 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0$
Шаг 3. Считаем: 64 + 32 + 0 + 8 + 0 + 2 + 1 = 107

Пример 2 (из десятичной в двоичную).
Дано: 173₁₀
Шаг 1. Находим степени двойки: 128 (2⁷), 64 (2⁶), 32 (2⁵), ..., 1 (2⁰)
Шаг 2. 128 ≤ 173 → пишем 1 в 7-й разряд, остаток: 173 - 128 = 45
Шаг 3. 32 ≤ 45 → 1 в 5-й разряд, остаток: 45 - 32 = 13
Шаг 4. 8 ≤ 13 → 1 в 3-й разряд, остаток: 13 - 8 = 5
Шаг 5. 4 ≤ 5 → 1 в 2-й разряд, остаток: 5 - 4 = 1
Шаг 6. 1 ≤ 1 → 1 в 0-й разряд
Шаг 7. Заполняем пропуски нулями: 10101101₂

Типичные ошибки.
1. Неправильная нумерация разрядов — начинают слева или с 1.
2. Пропуск нулевых разрядов — забывают записать 0 в пустых позициях.
3. Ошибки в арифметике — особенно при сложении степеней.
4. Неполный перевод — останавливаются, не дойдя до нуля.

Дальше. Освойте перевод в/из восьмеричной и шестнадцатеричной систем.