Восьмеричная и шестнадцатеричная системы

Зачем это в ЕГЭ. Задание 14 в ЕГЭ по информатике проверяет умение работать с восьмеричной и шестнадцатеричной системами счисления. Оно даёт 1 первичный балл и встречается почти в каждом варианте ФИПИ, часто в комбинации с битовыми операциями или кодировкой символов.

Главная идея. Восьмеричная (основание 8) и шестнадцатеричная (основание 16) системы — компактные способы записи двоичных чисел. Каждая цифра восьмеричного числа соответствует трём битам, а шестнадцатеричного — четырём. Это позволяет быстро переводить между системами без промежуточных десятичных преобразований.

Алгоритм (чеклист).
1. Определите, в какую систему нужно перевести число (8 или 16).
2. Если исходное число в двоичной системе, разбейте его на группы по 3 (для 8-ричной) или 4 (для 16-ричной) бита, начиная справа.
3. Замените каждую группу соответствующей цифрой в целевой системе.
4. Если исходное число в 8-ричной или 16-ричной системе, переведите каждую цифру в двоичную группу.
5. Проверьте результат, переведя его обратно в исходную систему.

Опоры (кратко).
- $8 = 2^3$, $16 = 2^4$ — основания систем
- Шестнадцатеричные цифры: 0-9, A-F (A=10, B=11, ..., F=15)
- Таблица соответствий:
- 8-ричная: 0=000, 1=001, ..., 7=111
- 16-ричная: 0=0000, 1=0001, ..., F=1111

Пример 1 (перевод из двоичной в восьмеричную)
Шаг 1. Дано двоичное число: $1101011_2$.
Шаг 2. Разбиваем на группы по 3 бита справа: $1|101|011$.
Шаг 3. Дополняем левую группу нулями: $001|101|011$.
Шаг 4. Переводим каждую группу: $001_2=1_8$, $101_2=5_8$, $011_2=3_8$.
Шаг 5. Получаем: $153_8$.

Пример 2 (перевод из шестнадцатеричной в двоичную)
Шаг 1. Дано шестнадцатеричное число: $A7_{16}$.
Шаг 2. Переводим каждую цифру: $A_{16}=1010_2$, $7_{16}=0111_2$.
Шаг 3. Объединяем результаты: $10100111_2$.
Шаг 4. Проверяем: $10100111_2 = A7_{16}$ — верно.

Типичные ошибки.
1. Неправильное разбиение на группы — забывают дополнять левую группу нулями.
2. Путаница в шестнадцатеричных цифрах — путают A-F с десятичными значениями.
3. Ошибки в таблице соответствий — неправильно переводят цифры в битовые группы.
4. Потеря ведущих нулей — не учитывают их при обратном переводе.
5. Смешение систем — пытаются перевести напрямую между 8-ричной и 16-ричной без двоичного промежуточного шага.

Дальше. Освойте арифметические операции в этих системах и их связь с битовыми операциями.