Задачи на совместную работу

Зачем это в ЕГЭ. В задании №10 — бригады, краны, копка огорода; удобная модель «вся работа $=1$».

Главная идея. Производительность за единицу времени $v=\frac{1}{T}$, если объект делается за время $T$. Несколько независимых процессов вместе: сумма производительностей даёт $\frac{1}{T_{\text{совм}}}$.

Алгоритм (чеклист).
1. Принять объём работы $1$ (или $W$) и записать «скорости» $\frac{1}{t_i}$ для каждого исполнителя.
2. Совместная работа: $\sum \varepsilon_i\frac{1}{t_i}=\frac{1}{T}$, где $\varepsil>$, если в условии явно «добавляет / уменьшает» вклад.
3. Если часть работы уже сделана, перейти к остатку $1-\alpha$ или считать отдельно интервалы времени.
4. Проверка: суммарная доля работы за найденное время должна дать $1$.

Опоры (кратко). Два исполнителя без помех: $\frac{1}{t_1}+\frac{1}{t_2}=\frac{1}{T}$.

Пример 1 (два рабочих). Первый выполняет заказ за $12$ ч, второй за $6$ ч. За сколько часов они сделают тот же заказ вместе?

Шаг 1. Производительности $\frac{1}{12}+\frac{1}{6}=\frac{1}{12}+\frac{2}{12}=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$ работы в час.

Шаг 2. Значит $T=4$ ч.

Шаг 3. Проверка: за $4$ ч первый внесёт $\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$, второй $\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$, сумма $1$.

Пример 2 (два крана). Первый наполняет бассейн за $3$ ч, второй за $6$ ч. Оба открыты одновременно. За сколько наполнится бассейн?

Шаг 1. $\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=\frac{2}{6}+\frac{1}{6}=\frac{1}{2}$ бассейна в час.

Шаг 2. $\frac{1}{T}=\frac{1}{2}\Rightarrow T=2$ ч.

Шаг 3. Проверка: за $2$ ч первый даст $\frac{2}{3}$, второй $\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$, вместе $1$ бассейн.

Типичные ошибки. Складывают часы вместо производительностей; путают «в $2$ раза быстрее» ($t/2$) с «на $2$ ч быстрее»; не вычитают уже выполненную долю работы.

Дальше. Три исполнителя и «утечка» (отрицательный вклад) — в тренажёре №10.