Задачи на проценты и смеси

Зачем это в ЕГЭ. В задании №10 — проценты, сплавы, растворы; концентрация как доля «чистого вещества» в смеси.

Главная идея. $p\%$ от $a$ равно $a\cdot\frac{p}{100}$. При смешивании (без реакции) массы складываются; масса соли, спирта и т.д. до смешения равна их массе в смеси — отсюда уравнение на новую концентрацию.

Алгоритм (чеклист).
1. Перевести проценты в доли; явно записать массы (или объёмы при одинаковой плотности) и концентрации.
2. Для смеси: $m_1c_1+m_2c_2=(m_1+m_2)c$; неизвестная может быть $m_2$, $c$ или $c_2$.
3. «Подорожало на $p\%$»: умножить на $(1+p/100)$; «подешевело на $p\%$»: на $(1-p/100)$ — от той цены, которая действует в момент изменения.
4. Проверка: при смешивании двух растворов одного типа итоговая концентрация лежит между исходными.

Опоры (кратко). $c=\dfrac{m_{\text{вещество}}}{m_{\text{всего}}}$; сложные проценты по периодам: $S=S_0(1+r)^n$ при фиксированной ставке за период.

Пример 1 (два раствора). $5$ кг $20\%$-ной соли и $10$ кг $50\%$-ной. Найти массовую долю соли в смеси.

Шаг 1. Масса соли: $5\cdot0{,}2+10\cdot0{,}5=1+5=6$ кг.

Шаг 2. Всего раствора $5+10=15$ кг.

Шаг 3. $c=\frac{6}{15}=0{,}4$ — это $40\%$; между $20\%$ и $50\%$ — ок.

Пример 2 (два последовательных процента). Товар стоил $2000$ р. Сначала цену увеличили на $10\%$, затем новую цену снова на $10\%$. Сколько стоит товар?

Шаг 1. После первого шага: $2000\cdot1{,}1=2200$ р.

Шаг 2. После второго: $2200\cdot1{,}1=2420$ р.

Шаг 3. Это не $+20\%$ к $2000$ ($2400$ р.), потому что второй процент считают от уже увеличенной базы.

Типичные ошибки. Складывают проценты к одной базе без учёта порядка шагов; смешивают «на $p\%$» и «в $p$ раз»; в смеси забывают перевести проценты в доли.

Дальше. Сплавы и последовательное разбавление — пакет №10 в тренажёре.