Показательные уравнения

Зачем это в ЕГЭ. В задании №6 часто дают одно показательное уравнение: нужно быстро свести его к алгебраическому. Формат КИМ 2026 года по этому блоку не меняет суть: те же основания, степени и иногда квадратичная замена.

Главная идея. Если обе части — степени одного положительного основания $a \neq 1$, показатели равны: $a^{f(x)} = a^{g(x)} \Rightarrow f(x) = g(x)$. Если основания разные — приводим к одному (часто к степеням двойки или тройки) или вводим замену $t = a^x$ (и не забываем, что $t > 0$).

Алгоритм (чеклист).
1. Упростить каждую сторону: $(a^m)^n = a^{mn}$, $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.
2. Привести к виду $a^{f(x)} = a^{g(x)}$ или к многочлену от $t = a^x$.
3. Решить получившееся уравнение.
4. Если была замена $t = a^x$: отбросить $t \le 0$; из $t$ найти $x$.
5. При необходимости проверить корни подстановкой (особенно если делили на выражение со степенью).

Опоры (кратко).
- $\left(\frac{1}{a}\right)^x = a^{-x}$, $\sqrt[n]{a^m} = a^{m/n}$ ($a > 0$).
- $4^x = 2^{2x}$, $8^x = 2^{3x}$, $9^x = 3^{2x}$.

Пример 1 (одно основание). Уравнение ниже не совпадает с задачами из тренажёра — его можно разобрать спокойно, а затем отработать навык на карточках.

Шаг 1. Правая часть — степень тройки: $81 = 3^4$.

Шаг 2. Левая часть: $\left(\frac{1}{3}\right)^{x-2} = \left(3^{-1}\right)^{x-2} = 3^{-(x-2)} = 3^{-x+2}$.

Шаг 3. Основания равны: $-x + 2 = 4$, откуда $x = -2$.

Шаг 4. Проверка: $\left(\frac{1}{3}\right)^{-4} = 3^4 = 81$ — верно.

Пример 2 (замена). Решим $9^x - 10 \cdot 3^x + 9 = 0$.

Заметим $9^x = (3^2)^x = (3^x)^2$. Положим $t = 3^x$, $t > 0$:

Тогда $3^x = 1 \Rightarrow x = 0$; $3^x = 9 \Rightarrow x = 2$.

Типичные ошибки.
- Путаница знака при $\left(\frac{1}{a}\right)^x$: это $a^{-x}$, а не $a^x$.
- Потеря условия $t > 0$ при замене $t = a^x$.
- «Сокращение» показателей при разных основаниях без приведения — так делать нельзя.

Дальше. Открой тренажёр по этой теме: там другие числа, те же приёмы — так закрепляется навык, а не заучивается один пример.