Задачи на прогрессии

Зачем это в ЕГЭ. В задании №10; иногда прогрессия спрятана в финансовой или биологической модели.

Главная идея. Арифметическая: $a_n=a_1+(n-1)d$, $S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n=\frac{2a_1+(n-1)d}{2}\cdot n$. Геометрическая: $b_n=b_1q^{n-1}$, $S_n=b_1\frac{q^n-1}{q-1}$ при $q\ne1$; при $|q|<1$ бесконечная сумма $S=\frac{b_1}{1-q}$.

Алгоритм (чеклист).
1. По тексту: одинаковая разность соседних членов — АП; одинаковое отношение — ГП.
2. Записать $a_1,d$ или $b_1,q$; не перепутать номер члена $n$.
3. Для суммы $n$ членов убедиться, что $n$ — целое число шагов по смыслу задачи.
4. Свести уравнение к линейному или квадратному относительно $d$, $q$, $n$.

Опоры (кратко). $a_k=\frac{a_{k-1}+a_{k+1}}{2}$ в АП; $b_k^2=b_{k-1}b_{k+1}$ для положительной ГП.

Пример 1 (АП). $a_1=5$, $d=3$. Найти $a_5$ и $S_5$.

Шаг 1. $a_5=5+4\cdot3=17$.

Шаг 2. $S_5=\frac{5+17}{2}\cdot5=55$.

Шаг 3. Контроль: $S_5=\frac{2\cdot5+4\cdot3}{2}\cdot5=55$.

Пример 2 (ГП). $b_1=2$, $q=3$. Найти $b_4$ и $S_4$.

Шаг 1. $b_4=2\cdot3^3=54$.

Шаг 2. $S_4=2\frac{3^4-1}{3-1}=2\cdot\frac{80}{2}=80$.

Шаг 3. Сумма вручную $2+6+18+54=80$.

Типичные ошибки. Путают $d$ и $q$; ошибаются в числе членов ($n$ vs $n-1$); применяют формулу $S_n$ ГП при $q=1$ без отдельного случая.

Дальше. Текст + прогрессия в одной задаче — тренажёр №10.