Прямоугольный треугольник

Зачем это в ЕГЭ. В заданиях №1 и №17 постоянно встречаются прямоугольные треугольники: по Пифагору, по тригонометрии, через вписанный угол в полуокружность. Нужно быстро выписать связи между сторонами и углами.

Главная идея. Катеты $a$, $b$, гипотенуза $c$: $a^2+b^2=c^2$. Синус острого угла — отношение противолежащего катета к гипотенузе, косинус — прилежащего к гипотенузе. $S=\frac{1}{2}ab$, высота к гипотенузе $h=\frac{ab}{c}$.

Алгоритм (чеклист).
1. Отметить прямой угол; подписать, что катет, что гипотенуза.
2. Неизвестная сторона — теорема Пифагора; неизвестный угол — $\sin$, $\cos$, $\mathrm{tg}$ от подходящего прямоугольного треугольника.
3. Площадь и высоты — по готовым формулам; при вписанности проверить, не даёт ли окружность дополнительный прямой угол.

Опоры (кратко). Медиана к гипотенузе равна $\frac{c}{2}$. $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$.

Пример 1 (Пифагор). Катеты $6$ и $8$. Найти гипотенузу и площадь (учебная задача, не из тренажёра).

Шаг 1. $c^2=6^2+8^2=36+64=100$.

Шаг 2. $c=10$ (длина положительна).

Шаг 3. $S=\frac{1}{2}\cdot6\cdot8=24$.

Шаг 4. Проверка: $6^2+8^2=10^2$ — верно.

Пример 2 (катет по гипотенузе). Гипотенуза $15$, один катет $9$. Найти второй катет $b$.

Шаг 1. $a^2+b^2=c^2\Rightarrow 9^2+b^2=15^2$.

Шаг 2. $81+b^2=225$, $b^2=144$.

Шаг 3. $b=12$ (катет положителен).

Шаг 4. Проверка: $9^2+12^2=81+144=225=15^2$.

Типичные ошибки. Путают катет и гипотенузу в $\sin/\cos$; забывают извлечь корень; смешивают градусы и радианы.

Дальше. Открой тренажёр: другие числа, те же приёмы — закрепление навыка, а не один пример.