Равнобедренный треугольник

Зачем это в ЕГЭ. В №1 и №17 равнобедренный треугольник часто сокращает рассуждения: симметрия, одна высота даёт два прямоугольных треугольника.

Главная идея. Равные боковые стороны $\Rightarrow$ равные углы при основании. Высота к основанию — одновременно медиана и биссектриса. Если боковая $a$, основание $b$, то $h=\sqrt{a^2-(b/2)^2}$, $S=\frac{1}{2}bh$.

Алгоритм (чеклист).
1. Провести высоту к основанию — получить два прямоугольных треугольника с катетами $h$ и $b/2$.
2. Связать $a$, $b$, $h$ через Пифагор; при известном угле при основании — через $\sin$ или $\cos$.
3. Площадь и длины отрезков — из симметрии, не путая высоту к основанию с высотой к боковой стороне.

Опоры (кратко). В равнобедренном $\triangle ABC$ с $AB=AC$ высота из $A$ делит $BC$ пополам.

Пример 1 (площадь). Боковая сторона $10$, основание $12$.

Шаг 1. Половина основания: $\frac{12}{2}=6$.

Шаг 2. $h=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8$.

Шаг 3. $S=\frac{1}{2}\cdot12\cdot8=48$.

Шаг 4. Проверка Пифагора в маленьком треугольнике: $6^2+8^2=100=10^2$.

Пример 2 (найти боковую). Основание $6$, высота к основанию $4$.

Шаг 1. Половина основания $3$.

Шаг 2. Боковая $a=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$.

Шаг 3. $S=\frac{1}{2}\cdot6\cdot4=12$.

Шаг 4. Проверка: $3^2+4^2=5^2$ — верно.

Типичные ошибки. Делят не ту сторону пополам; путают угол при вершине с углом при основании; высота «к боковой» в общем случае не биссектриса угла при основании.

Дальше. Реши в тренажёре задачи с окружностью и равнобедренным треугольником.