Треугольники общего вида

Зачем это в ЕГЭ. В заданиях №1, №17; часто как промежуточный шаг в стереометрии.

Главная идея. Теорема косинусов связывает три стороны и угол; теорема синусов — стороны и описанную окружность; площадь удобно через $\frac{1}{2}ab\sin C$ или Герона.

Алгоритм (чеклист).
1. Обозначить против углов стороны $a,b,c$; в косинусе угол стоит между двумя известными сторонами, если ищете третью сторону.
2. Если даны две стороны и угол между ними — сначала третья сторона через косинусы или сразу площадь через синус.
3. Теорема синусов: $\frac{a}{\sin A}=2R$; следить за парой «сторона — противоположный угол».
4. Герон: $p=\frac{a+b+c}{2}$, $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ — после того как все стороны найдены.

Опоры (кратко). $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$; $S=\frac{abc}{4R}$.

Пример 1 (теорема косинусов). $a=3$, $b=5$, $\angle C=60^\circ$. Найти $c$.

Шаг 1. $c^2=3^2+5^2-2\cdot3\cdot5\cdot\cos60^\circ=9+25-15=19$.

Шаг 2. $c=\sqrt{19}$.

Шаг 3. Неравенство треугольника: $3+5>\sqrt{19}$ — выполняется.

Пример 2 (площадь через синус). Те же $a=3$, $b=5$, $\angle C=60^\circ$. Площадь без нахождения $c$.

Шаг 1. $S=\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{1}{2}\cdot3\cdot5\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{15\sqrt{3}}{4}$.

Шаг 2. Альтернатива: найти $c=\sqrt{19}$, затем Герон — результат совпадёт.

Шаг 3. Проверка: при $\angle C=60^\circ$ площадь положительна, порядок величин разумен.

Типичные ошибки. Подставляют не тот угол в косинусы; путают вписанный $r$ и описанный $R$ в $2R$; забывают, что $\sin(180^\circ-C)=\sin C$ при двусмысленности.

Дальше. Пакет на синус/косинус в тренажёре до автоматической записи формул.