Параллелограммы

Зачем это в ЕГЭ. В заданиях №1, №17 — площади, диагонали, доказательства параллельности и равенства отрезков.

Главная идея. Противоположные стороны равны и параллельны; диагонали точкой пересечения делятся пополам. Площадь: основание $\times$ высота или $ab\sin\alpha$ между соседними сторонами.

Алгоритм (чеклист).
1. Убедиться, что фигура — параллелограмм (по условию или признаку: две пары параллельных сторон / противоположные стороны равны).
2. Для площади выбрать основание и высоту именно к нему либо угол между соседними сторонами.
3. Связь диагоналей и сторон: $d_1^2+d_2^2=2(a^2+b^2)$.
4. В доказательствах — дополнительные построения или векторы/координаты.

Опоры (кратко). Прямоугольник: равные диагонали; ромб: $S=\frac{1}{2}d_1d_2$; квадрат — частный случай обоих.

Пример 1 (площадь через синус). Соседние стороны $6$ и $8$, угол между ними $30^\circ$. Найти площадь.

Шаг 1. $S=ab\sin\alpha=6\cdot8\cdot\sin30^\circ$.

Шаг 2. $\sin30^\circ=\frac{1}{2}$, значит $S=48\cdot\frac{1}{2}=24$.

Шаг 3. Контроль: при угле $90^\circ$ было бы $48$ — при остром площадь меньше, логично.

Пример 2 (связь диагоналей). Стороны параллелограмма $5$ и $9$, одна диагональ $12$. Найти вторую диагональ $d$.

Шаг 1. $12^2+d^2=2(5^2+9^2)=2(25+81)=212$.

Шаг 2. $d^2=212-144=68$, $d=2\sqrt{17}$.

Шаг 3. Проверка: неравенство треугольника для треугольника из двух сторон и диагонали — выполняется.

Типичные ошибки. Высота не к тому основанию; в ромбе забывают $S=\frac{1}{2}d_1d_2$; путают угол между сторонами с углом между диагоналями.

Дальше. Задачи «параллелограмм + векторы/координаты вершин» в тренажёре.