Трапеция

Зачем это в ЕГЭ. В №1 и №17 трапеция — частая фигура: площадь, средняя линия, свойства при параллельных основаниях и пересечении диагоналей. Нужно уверенно писать формулы и не путать высоту с боковой стороной.

Главная идея. Основания $a$ и $b$ параллельны. Средняя линия $m=\frac{a+b}{2}$ (отрезок, соединяющий середины боковых сторон). Площадь $S=\frac{a+b}{2}\cdot h=m\cdot h$, где $h$ — расстояние между прямыми оснований.

Алгоритм (чеклист).
1. Обозначить, какие стороны — основания; провести или обозначить высоту $h$.
2. Для площади: $S=\frac{a+b}{2}\cdot h$; для средней линии (по определению через середины) — проверить, что отрезок действительно соединяет середины боковых сторон.
3. Если диагонали пересекаются — искать подобные треугольники; отношения отрезков на диагоналях связаны с $a:b$.
4. Равнобедренная трапеция: симметрия, равные диагонали.

Опоры (кратко). В равнобедренной трапеции углы при каждом основании попарно равны.

Пример 1 (площадь). Основания $a=5$ см, $b=13$ см, высота $h=8$ см (учебная задача).

Шаг 1. Полусумма оснований: $\frac{5+13}{2}=9$.

Шаг 2. $S=9\cdot8=72$ см$^2$.

Шаг 3. Проверка размерности: длина $\times$ длина — площадь, порядок величин разумен.

Пример 2 (средняя линия). Те же основания $5$ и $13$. Найти длину средней линии $m$.

Шаг 1. По свойству средней линии трапеции $m=\frac{a+b}{2}$.

Шаг 2. $m=\frac{5+13}{2}=9$ см.

Шаг 3. Связь с площадью: при известной $h$ получаем $S=m\cdot h=9\cdot8=72$ — согласуется с примером 1.

Типичные ошибки. Путают среднюю линию с отрезком, соединяющим середины оснований; берут не ту высоту; в подобии у диагоналей путают коэффициент $a/b$.

Дальше. В тренажёре — трапеции с окружностью и доказательства; те же формулы.