Центральные и вписанные углы

Зачем это в ЕГЭ. В заданиях №1, №17 — ключ к углам в окружности и касательной.

Главная идея. Центральный угол равен градусной мере дуги; вписанный, опирающийся на ту же дугу, равен половине этой меры. Угол между касательной и хордой равен половине внутренней дуги между точкой касания и дальним концом хорды. Вписанные на одну и ту же дугу равны.

Алгоритм (чеклист).
1. Найти дугу, на которую «смотрит» угол; связать с центральным на ту же дугу или с другим вписанным.
2. Хорда — диаметр: вписанный угол на неё равен $90^\circ$.
3. Две хорды пересекаются внутри окружности: $PA\cdot PB=PC\cdot PD$.
4. Касательная и хорда из одной точки: угол равен половине дуги «между» касательной и хордой (по построению из учебника).

Опоры (кратко). Вписанный $\angle=\frac{1}{2}\overset{\frown}{AB}$; если не сказано иное, берут меньшую дугу $AB$.

Пример 1 (центральный и вписанный). В окружности центральный угол $\angle AOB=100^\circ$. Точка $C$ лежит на меньшей дуге $AB$. Найти $\angle ACB$.

Шаг 1. Вписанный $\angle ACB$ опирается на ту же дугу $AB$, что и $\angle AOB$.

Шаг 2. $\angle ACB=\frac{1}{2}\cdot 100^\circ=50^\circ$.

Шаг 3. Проверка: любой другой вписанный на эту дугу тоже $50^\circ$ — теорема о равенстве вписанных углов.

Пример 2 (пересечение хорд). Хорды $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $P$ внутри окружности; $AP=3$, $PB=8$, $CP=4$. Найти $PD$.

Шаг 1. Теорема о произведении отрезков: $AP\cdot PB=CP\cdot PD$.

Шаг 2. $3\cdot 8=4\cdot PD \Rightarrow PD=6$.

Шаг 3. Проверка: $24=24$; длина $PD$ положительна — ок.

Типичные ошибки. Берут большую дугу вместо меньшей; путают угол между двумя хордами (через дуги) с «простым» вписанным; забывают формулу для $PA\cdot PB$.

Дальше. Закрепи «вписанный угол + треугольник в окружности» и задачи с касательной в тренажёре.