Вписанные и описанные окружности

Зачем это в ЕГЭ. В заданиях №1, №17; часто вместе с площадью, полупериметром и углами в окружности.

Главная идея. Вписанная окружность треугольника: $r=\frac{S}{p}$. Описанная: $R=\frac{abc}{4S}$. Для прямоугольного с гипотенузой $c$: $R=\frac{c}{2}$, $r=\frac{a+b-c}{2}$.

Алгоритм (чеклист).
1. Различить: нужен $r$ (касание сторон) или $R$ (окружность через вершины).
2. Найти $S$ и $p=\frac{a+b+c}{2}$; подставить в $r=S/p$ или $R=abc/(4S)$.
3. Четырёхугольник со вписанной окружностью: суммы противоположных сторон равны ($a+c=b+d$).
4. Около четырёхугольника можно описать окружность, если суммы противоположных углов $180^\circ$.

Опоры (кратко). Площадь равнобедренного через высоту к основанию; для прямоугольного треугольника $S=\frac{1}{2}ab$.

Пример 1 (равнобедренный треугольник). Стороны $5$, $5$, $6$. Найти $r$ и $R$.

Шаг 1. Высота к основанию $6$: $h=\sqrt{5^2-3^2}=4$, $S=\frac{1}{2}\cdot6\cdot4=12$, $p=\frac{5+5+6}{2}=8$.

Шаг 2. $r=\frac{S}{p}=\frac{12}{8}=1{,}5$.

Шаг 3. $R=\frac{abc}{4S}=\frac{5\cdot5\cdot6}{48}=\frac{25}{8}$.

Пример 2 (прямоугольный треугольник). Катеты $6$ и $8$, гипотенуза $10$. Найти $r$ и $R$ быстрыми формулами.

Шаг 1. $R=\frac{c}{2}=5$.

Шаг 2. $r=\frac{a+b-c}{2}=\frac{6+8-10}{2}=2$.

Шаг 3. Проверка через площадь: $S=24$, $p=12$, $r=24/12=2$ — согласуется.

Типичные ошибки. Путают формулы $r$ и $R$; в $S/p$ подставляют периметр вместо полупериметра; применяют $r=(a+b-c)/2$ не к прямоугольному треугольнику.

Дальше. Конфигурации с двумя окружностями и касаниями — тематический блок в тренажёре.