Логарифмические уравнения

Зачем это в ЕГЭ. В задании №6 часто дают одно логарифмическое уравнение: нужно аккуратно перейти к алгебраическому и не забыть ОДЗ — без неё легко записать лишние корни.

Главная идея. Равенство $\log_a f(x)=\log_a g(x)$ при $a>0$, $a\ne1$ равносильно системе $f(x)=g(x)$ и $f(x)>0$ (и $g(x)>0$, если логарифмы с обеих сторон). Сумма логарифмов — логарифм произведения аргументов (при положительных аргументах).

Алгоритм (чеклист).
1. Записать ОДЗ: каждый аргумент $>0$, основание $>0$ и $\ne1$.
2. Упростить уравнение свойствами логарифма; при необходимости замена $t=\log_a x$.
3. Решить получившееся алгебраическое уравнение.
4. Отсеять корни, не удовлетворяющие ОДЗ; при сомнении — подстановка в исходное уравнение.

Опоры (кратко). $\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y$; $\log_a x^n=n\log_a x$; $\log_a b=c\Leftrightarrow a^c=b$ ($a>0$, $a\ne1$, $b>0$).

Пример 1 (простейшее). Решим $\log_3(2x-1)=2$.

Шаг 1. ОДЗ: $2x-1>0$, то есть $x>\frac{1}{2}$.

Шаг 2. По определению: $2x-1=3^2=9$, откуда $2x=10$, $x=5$.

Шаг 3. Проверка ОДЗ: $5>\frac{1}{2}$ — подходит. Подстановка: $\log_3 9=2$ — верно.

Пример 2 (сумма логарифмов). Решим $\log_5 x+\log_5(x-4)=1$.

Шаг 1. ОДЗ: $x>0$ и $x-4>0$, значит $x>4$.

Шаг 2. $\log_5\bigl(x(x-4)\bigr)=1$, поэтому $x(x-4)=5$, то есть $x^2-4x-5=0$.

Шаг 3. Корни: $x=5$ и $x=-1$. По ОДЗ остаётся только $x=5$.

Шаг 4. Проверка: $\log_5 5+\log_5 1=1+0=1$ — верно.

Типичные ошибки. Игнорируют ОДЗ; складывают аргументы как $\log A+\log B=\log(A+B)$; забывают проверку после возведения в степень.

Дальше. В тренажёре — другие основания и замены; приёмы те же.