Координаты и длина вектора

Зачем это в ЕГЭ. В задании №2 — $\overrightarrow{AB}$, длина, середина отрезка, расстояние между точками.

Главная идея. $\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A,\,y_B-y_A)$; $|\vec v|=\sqrt{x^2+y^2}$; расстояние $AB$ совпадает с $|\overrightarrow{AB}|$.

Алгоритм (чеклист).
1. Явно указать начало и конец; координаты вектора — конец минус начало.
2. Длина — теорема Пифагора по компонентам; не забыть извлечь корень.
3. Середина отрезка $AB$: $\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2}\right)$.
4. Для контроля: $|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{BA}|$, но $\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{BA}$.

Опоры (кратко). Расстояние $d(A,B)=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$.

Пример 1 (координаты и длина). $A(-2,1)$, $B(4,9)$. Найти $\overrightarrow{AB}$ и $|\overrightarrow{AB}|$.

Шаг 1. $\overrightarrow{AB}=(4-(-2),\,9-1)=(6,8)$.

Шаг 2. $|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10$.

Шаг 3. Проверка: тройка Пифагора $6$, $8$, $10$.

Пример 2 (середина). Концы отрезка $P(0,5)$ и $Q(6,-3)$. Найти координаты середины $M$.

Шаг 1. $M_x=\frac{0+6}{2}=3$, $M_y=\frac{5+(-3)}{2}=1$.

Шаг 2. $M(3,1)$.

Шаг 3. Проверка: $\overrightarrow{PM}=(3,-4)$, $\overrightarrow{MQ}=(3,-4)$ — совпадают, значит $M$ середина.

Типичные ошибки. Путают порядок вычитания координат; забывают корень при длине; путают середину с суммой координат без деления на $2$.

Дальше. Ускоренный режим в тренажёре №2: только координаты, середины и длины.