Операции с векторами

Зачем это в ЕГЭ. В задании №2 все действия с векторами делаются в координатах: сложение, вычитание, умножение на число, проверка коллинеарности. Ошибка в знаке или в порядке координат сразу ломает ответ.

Главная идея. $\vec a\pm\vec b=(x_1\pm x_2,\,y_1\pm y_2)$, $k\vec a=(kx,\,ky)$. Коллинеарность ненулевых: $\vec b=t\vec a$ или $x_1y_2-x_2y_1=0$.

Алгоритм (чеклист).
1. Записать векторы в координатах; для $\overrightarrow{AB}$ — координаты конца минус начало.
2. Линейные операции — покоординатно.
3. Коллинеарность: пропорциональность компонент или «косое» произведение $x_1y_2-x_2y_1=0$.
4. Декомпозиция $\vec v=x\vec i+y\vec j$ — коэффициенты $x,y$.

Опоры (кратко). $|\vec a|=\sqrt{x^2+y^2}$; $\vec 0$ коллинеарен любому вектору.

Пример 1 (сложение и число). $\vec a=(3,-1)$, $\vec b=(1,2)$. Найти $\vec a+\vec b$ и $2\vec a$.

Шаг 1. $\vec a+\vec b=(3+1,\,-1+2)=(4,1)$.

Шаг 2. $2\vec a=(6,-2)$.

Шаг 3. Проверка: $2\vec a$ должен быть вдвое длиннее $\vec a$ в том же направлении — координаты удвоены.

Пример 2 (коллинеарность). Векторы $\vec u=(2,5)$ и $\vec v=(6,15)$ коллинеарны?

Шаг 1. Проверим пропорцию: $\frac{6}{2}=3$, $\frac{15}{5}=3$ — один и тот же множитель.

Шаг 2. Значит $\vec v=3\vec u$ — коллинеарны.

Шаг 3. Через определитель: $2\cdot15-5\cdot6=30-30=0$ — согласуется.

Типичные ошибки. Вычитают координаты начала и конца в обратном порядке; путают коллинеарность с перпендикулярностью; забывают про $\vec 0$.

Дальше. Смешанные задачи №2 в тренажёре — те же операции, новые числа.