Скалярное произведение

Зачем это в ЕГЭ. В задании №2 — угол между векторами, проверка перпендикулярности и параллельности, иногда проекция на направление.

Главная идея. В координатах $\vec a\cdot\vec b=x_1x_2+y_1y_2$. Связь с углом $\varphi$ между ненулевыми векторами: $\cos\varphi=\dfrac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec a||\vec b|}$. Если $\vec a\cdot\vec b=0$ и векторы ненулевые — $\varphi=90^\circ$.

Алгоритм (чеклист).
1. Вычислить $\vec a\cdot\vec b$ по координатам; при необходимости $|\vec a|=\sqrt{x_1^2+y_1^2}$.
2. Для угла: подставить в $\cos\varphi$, учесть ограничение $\cos\varphi\in[-1,1]$; арккосинус даёт угол $0^\circ$–$180^\circ$.
3. Перпендикулярность: сначала проверить «оба ненулевые», затем скалярное $=0$.
4. Проекция $\vec a$ на направление $\vec e$ ($|\vec e|=1$): величина $(\vec a\cdot\vec e)$ со знаком по направлению $\vec e$.

Опоры (кратко). $(k\vec a)\cdot\vec b=k(\vec a\cdot\vec b)$; $|\vec a+\vec b|^2=|\vec a|^2+2\vec a\cdot\vec b+|\vec b|^2$.

Пример 1 (угол между векторами). $\vec a=(1,0)$, $\vec b=(1,1)$. Найти $\cos\varphi$ и угол $\varphi$.

Шаг 1. $\vec a\cdot\vec b=1$, $|\vec a|=1$, $|\vec b|=\sqrt{2}$.

Шаг 2. $\cos\varphi=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Шаг 3. $\varphi=45^\circ$ (или $\frac{\pi}{4}$ рад).

Пример 2 (перпендикулярность). $\vec u=(3,4)$, $\vec v=(-4,3)$. Проверить, что угол $90^\circ$.

Шаг 1. $\vec u\cdot\vec v=3\cdot(-4)+4\cdot3=-12+12=0$.

Шаг 2. $|\vec u|=5$, $|\vec v|=5$ — оба ненулевые.

Шаг 3. Скалярное нулевое ⇒ перпендикулярны.

Типичные ошибки. Делят на $|\vec a||\vec b|$ без проверки на ноль; путают угол между прямыми с углом между направляющими; используют $\sin$ вместо $\cos$ в формуле из скалярного произведения.

Дальше. Угол между прямыми и смешанные задачи №2 в тренажёре.