Куб и параллелепипед

Зачем это в ЕГЭ. В заданиях №3 и №14 — модель для объёмов, углов прямой с плоскостью, расстояний и координат.

Главная идея. У прямоугольного параллелепипеда с рёбрами $a,b,c$: объём $V=abc$, полная площадь $S_{\text{полн}}=2(ab+bc+ca)$, диагональ $d=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$. У куба со стороной $a$: $V=a^3$, $S_{\text{полн}}=6a^2$, $d=a\sqrt{3}$. Удобно вводить координаты с началом в вершине и осями вдоль рёбер.

Алгоритм (чеклист).
1. Записать $a,b,c$; для куба $a=b=c$.
2. Различать диагональ грани $\sqrt{a^2+b^2}$ и диагональ тела $\sqrt{a^2+b^2+c^2}$.
3. Угол между диагональю тела и плоскостью основания: найти проекцию диагонали на основание и использовать прямоугольный треугольник «диагональ — проекция — высота».
4. В координатах: уравнения граней, нормали, скалярное произведение для углов.

Опоры (кратко). Проекция диагонали куба на нижнюю грань — диагональ грани длины $a\sqrt{2}$.

Пример 1 (параллелепипед). $a=3$, $b=4$, $c=12$. Найти $V$ и $d$.

Шаг 1. $V=3\cdot4\cdot12=144$.

Шаг 2. $d=\sqrt{9+16+144}=\sqrt{169}=13$.

Шаг 3. Заметь: $3,4,5$ и высота $12$ дают «пифагорову» тройку в пространстве.

Пример 2 (куб). Объём куба $V=64$. Найти ребро $a$ и полную площадь поверхности.

Шаг 1. $a^3=64\Rightarrow a=4$.

Шаг 2. $S_{\text{полн}}=6a^2=6\cdot16=96$.

Шаг 3. Диагональ для контроля: $d=4\sqrt{3}$ — больше ребра.

Типичные ошибки. Путают диагональ грани и диагональ тела; угол между прямой и плоскостью ищут через не ту проекцию; забывают, что полная площадь куба — $6$ граней, не $4$.

Дальше. Задачи на параллелепипед с «некрасивыми» числами и переход к координатам в тренажёре №14.