Призма

Зачем это в ЕГЭ. В заданиях №3 и №14 — объём, площадь боковой поверхности, иногда угол между ребром и диагональю грани.

Главная идея. $V=S_{\text{осн}}\cdot h$, где $h$ — расстояние между плоскостями оснований. У прямой призмы боковые рёбра перпендикулярны основаниям и равны $h$. Боковая поверхность прямой призмы: $S_{\text{бок}}=P_{\text{осн}}\cdot h$ ($P_{\text{осн}}$ — периметр основания).

Алгоритм (чеклист).
1. Определить тип: прямая / наклонная; для наклонной $h$ — длина общего перпендикуляра оснований, не обязательно длина бокового ребра.
2. Найти $S_{\text{осн}}$ (треугольник, четырёхугольник, правильный многоугольник).
3. Для $S_{\text{бок}}$ прямой призмы: периметр основания $\times$ боковое ребро.
4. Основания конгруэнтны — площади равны.

Опоры (кратко). Правильный шестиугольник со стороной $a$: $S=\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2$.

Пример 1 (прямая призма, прямоугольник в основании). Основание — прямоугольник $3\times4$, высота призмы (боковое ребро) $h=10$. Найти $V$ и $S_{\text{бок}}$.

Шаг 1. $S_{\text{осн}}=3\cdot4=12$.

Шаг 2. $V=S_{\text{осн}}\cdot h=12\cdot10=120$.

Шаг 3. $P_{\text{осн}}=2(3+4)=14$, $S_{\text{бок}}=14\cdot10=140$.

Пример 2 (правильная шестиугольная призма). Сторона основания $a=2$, высота $h=5$. Найти $V$.

Шаг 1. $S_{\text{осн}}=\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2=\frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot4=6\sqrt{3}$.

Шаг 2. $V=S_{\text{осн}}\cdot h=6\sqrt{3}\cdot5=30\sqrt{3}$.

Шаг 3. Порядок величины: $\sqrt{3}\approx1{,}73$, $V\approx 52$ — разумно для малых $a,h$.

Типичные ошибки. В наклонной призме принимают длину бокового ребра за $h$; путают $S_{\text{бок}}$ с полной поверхностью; забывают удвоить при периметре прямоугольника.

Дальше. Треугольная и шестиугольная призмы в разных постановках №3/№14.