Пирамида

Зачем это в ЕГЭ. В заданиях №3 и №14 — объём, усечённая пирамида, боковая поверхность, сечения плоскостью, параллельной основанию.

Главная идея. $V=\frac{1}{3}S_{\text{осн}}\cdot h$. У правильной пирамиды вершина проецируется в центр правильного основания; апофема боковой грани $l$, высота $h$ и расстояние от центра до стороны основания связаны теоремой Пифагора. Усечённая пирамида: $V=\frac{h}{3}(S_1+S_2+\sqrt{S_1S_2})$.

Алгоритм (чеклист).
1. Выделить прямоугольный треугольник: высота, апофема или боковое ребро, отрезок в основании.
2. Для правильной $n$-угольной пирамиды: $S_{\text{бок}}=\frac{1}{2}P_{\text{осн}}\cdot l$.
3. Сечение параллельно основанию — подобие; отношение высот = коэффициент подобия линейных размеров.
4. Не путать $h$ с длиной бокового ребра.

Опоры (кратко). Правильная четырёхугольная пирамида: от центра к стороне основания $a$ — отрезок $\frac{a}{2}$.

Пример 1 (объём правильной четырёхугольной пирамиды). Сторона основания $6$, высота $h=4$. Найти $V$.

Шаг 1. $S_{\text{осн}}=6^2=36$.

Шаг 2. $V=\frac{1}{3}\cdot36\cdot4=48$.

Шаг 3. Сравнение с призмой той же высоты: $V_{\text{пир}}=\frac{1}{3}V_{\text{призмы}}$ — здесь призма была бы $144$, треть — $48$, ок.

Пример 2 (апофема и боковая поверхность). Та же пирамида: квадрат $6\times6$, $h=4$. Найти апофему $l$ боковой грани и $S_{\text{бок}}$.

Шаг 1. От центра основания до середины стороны: $\frac{6}{2}=3$.

Шаг 2. $l=\sqrt{h^2+3^2}=\sqrt{16+9}=5$.

Шаг 3. $P_{\text{осн}}=4\cdot6=24$, $S_{\text{бок}}=\frac{1}{2}\cdot24\cdot5=60$.

Типичные ошибки. Берут не ту высоту; в усечённой пирамиде путают $S_1$ и $S_2$; забывают $\frac{1}{3}$ в объёме; апофему смешивают с боковым ребром.

Дальше. Сечения и комбинации с шаром — в тренажёре №14.