Цилиндр, конус, шар

Зачем это в ЕГЭ. В задании №3 — объёмы и площади поверхностей; в №14 — вписанные и описанные шары, комбинации с призмой/пирамидой.

Главная идея. Цилиндр: $V=\pi R^2 h$, $S_{\text{полн}}=2\pi R^2+2\pi Rh$. Конус: $V=\frac{1}{3}\pi R^2 h$, $l=\sqrt{R^2+h^2}$, $S_{\text{бок}}=\pi Rl$. Шар: $V=\frac{4}{3}\pi R^3$, $S=4\pi R^2$. Усечённый конус: через радиусы двух оснований и высоту (формула из учебника).

Алгоритм (чеклист).
1. Осечение: прямоугольник (цилиндр), треугольник или трапеция (конус/усечённый конус), круг (шар).
2. Проверить: в условии дан радиус или диаметр; все длины в одних единицах.
3. Для вписанного шара в цилиндр высоты $h$: часто $2R_{\text{ш}}=h$ при касании оснований; уточнять по чертежу.
4. Подобие в усечённом конусе — выражать неизвестные через коэффициент.

Опоры (кратко). Площадь боковой поверхности цилиндра: развёртка — прямоугольник со сторонами $h$ и $2\pi R$.

Пример 1 (цилиндр). $R=3$, $h=10$. Найти $V$ и $S_{\text{полн}}$.

Шаг 1. $V=\pi R^2 h=\pi\cdot9\cdot10=90\pi$.

Шаг 2. $S_{\text{полн}}=2\pi R^2+2\pi Rh=18\pi+60\pi=78\pi$.

Шаг 3. Проверка: боковая $2\pi\cdot3\cdot10=60\pi$ совпадает со вторым слагаемым.

Пример 2 (шар и куб). Шар вписан в куб с ребром $a$. Найти радиус шара и его объём.

Шаг 1. Диаметр шара равен ребру куба: $2R=a\Rightarrow R=\frac{a}{2}$.

Шаг 2. $V_{\text{ш}}=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi\frac{a^3}{8}=\frac{\pi a^3}{6}$.

Шаг 3. Сравнение: $V_{\text{куб}}=a^3$, доля $\frac{\pi}{6}\approx0{,}52$ — меньше половины куба, правдоподобно.

Типичные ошибки. Путают радиус и диаметр; забывают $\frac{1}{3}$ у конуса; в полной поверхности цилиндра опускают одно из оснований; в комбинированных задачах неверно находят центр шара.

Дальше. Задачи «шар в цилиндре», «конус в шаре» — карточки и №14 в тренажёре.