Сечения многогранников

Зачем это в ЕГЭ. В задании №14 — построить сечение плоскостью, доказать свойства и найти площадь или стороны.

Главная идея. Сечение многогранника плоскостью — многоугольник; вершины лежат на рёбрах (или в вершинах). Если плоскость параллельна рёбру, линия пересечения с гранью, содержащей ребро, параллельна этому ребру. Две параллельные плоскости отсекают на призме равные сечения.

Алгоритм (чеклист).
1. Найти две точки пересечения плоскости с рёбрами; прямая через них — след плоскости в соответствующей грани.
2. Использовать параллельность рёбер куба/призмы для проведения сторон сечения в соседних гранях.
3. Закрыть многоугольник; перенести сечение в одну плоскость и считать углы/стороны (Пифагор, подобие, формула площади).
4. В ответе №14 кратко обосновать, почему полученные точки лежат в одной плоскости.

Опоры (кратко). Сечение куба плоскостью через три вершины, попарно соединённые рёбрами из одной вершины, — равносторонний треугольник со стороной $a\sqrt{2}$.

Пример 1 (площадь сечения куба). Куб с ребром $a$. Плоскость проходит через три вершины, соседние с одной вершиной куба (как в опоре). Найти площадь сечения.

Шаг 1. Сторона сечения — диагональ грани: $s=a\sqrt{2}$.

Шаг 2. Треугольник равносторонний: $S=\frac{s^2\sqrt{3}}{4}=\frac{2a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{a^2\sqrt{3}}{2}$.

Шаг 3. При $a=2$: $S=2\sqrt{3}$ — проверка порядка величины.

Пример 2 (сечение призмы плоскостью, параллельной основанию). Прямая призма с площадью основания $S_{\text{осн}}=15$. Плоскость параллельна основанию и пересекает боковые рёбра. Площадь сечения?

Шаг 1. Сечение параллельно основанию конгруэнтно основанию.

Шаг 2. $S_{\text{сеч}}=S_{\text{осн}}=15$.

Шаг 3. Высота призмы на площадь не влияет — только параллельность.

Типичные ошибки. «Соединяют» точки, не лежащие в одной грани, отрезком как стороной сечения; забывают про параллельность следов; площадь считают в 3D без переноса в плоскость сечения.

Дальше. Куб, тетраэдр, призма — разные плоскости в тренажёре №14.