Расстояния и углы в пространстве

Зачем это в ЕГЭ. В задании №14 — расстояния между точками, до плоскости, между скрещивающимися прямыми; углы между прямой и плоскостью, между плоскостями.

Главная идея. В координатах: расстояние от точки $(x_0,y_0,z_0)$ до плоскости $ax+by+cz+d=0$ равно $\dfrac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$. Угол между плоскостями — между нормалями $\vec n_1,\vec n_2$: $\cos\psi=\dfrac{|\vec n_1\cdot\vec n_2|}{|\vec n_1||\vec n_2|}$ (острый двугранный). Угол $\varphi$ между прямой с направлением $\vec l$ и плоскостью с нормалью $\vec n$: $\sin\varphi=\dfrac{|\vec l\cdot\vec n|}{|\vec l||\vec n|}$.

Алгоритм (чеклист).
1. Ввести систему координат (часто — вершина куба в начале, рёбра вдоль осей) или задать векторы.
2. Уравнение плоскости через три точки или через нормаль и точку; нормаль $\vec n=(a,b,c)$.
3. Расстояние — по формуле; угол прямой и плоскости — через $\sin$, не путать с углом с нормалью ($\cos$).
4. Проверить: расстояние $\ge0$, углы в допустимом диапазоне по смыслу задачи.

Опоры (кратко). Расстояние между точками: $\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}$.

Пример 1 (расстояние до плоскости). Точка $M(0,0,0)$, плоскость $x+y+z-1=0$. Найти расстояние.

Шаг 1. $d=\frac{|0+0+0-1|}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$.

Шаг 2. Знаменатель $\sqrt{3}$ — длина нормали $(1,1,1)$.

Шаг 3. Точка $(1,0,0)$ даёт то же расстояние до этой плоскости — симметрия, контроль.

Пример 2 (расстояние до координатной плоскости). $M(2,-5,7)$ до плоскости $z=0$.

Шаг 1. Плоскость $z=0$: уравнение $0\cdot x+0\cdot y+1\cdot z+0=0$, нормаль $(0,0,1)$.

Шаг 2. $d=\frac{|7|}{1}=7$.

Шаг 3. Геометрически — модуль аппликаты; совпадает.

Типичные ошибки. Угол между прямой и плоскостью путают с углом между прямой и нормалью; забывают модуль в числителе расстояния; нормаль берут не ортогональной плоскости.

Дальше. Параллелепипед в координатах и смешанные задачи №14 в тренажёре.