Тригонометрические уравнения

Зачем это в ЕГЭ. В задании №6 дают простейшее тригонометрическое уравнение; в №13 — то же умение плюс отбор корней на отрезке. Важно не только найти формулу для $x$, но и выбрать нужные значения по условию.

Главная идея. Приводим к виду $\sin x=a$, $\cos x=a$, $\mathrm{tg}\,x=a$ (или к квадратному уравнению от $\sin x$ / $\cos x$ с ограничением $|t|\le1$), затем находим решения на заданном интервале.

Алгоритм (чеклист).
1. Упростить уравнение ($\sin^2+\cos^2=1$, формулы приведения, разложение на множители).
2. Если замена $t=\sin x$ (или $\cos x$) — не забыть $|t|\le1$ и проверить каждую ветку.
3. Для простейшего уравнения — отметить решения на окружности или на отрезке из условия.
4. После деления на $\cos x$ (или $\sin x$) — отдельно проверить случаи, где множитель обращается в ноль.

Опоры (кратко). $\sin x=\frac{1}{2}$ на $[0,2\pi]$: $x\in\{\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}\}$; $\cos x=\frac{1}{2}$ на $[0,2\pi]$: $x\in\{\frac{\pi}{3},\frac{5\pi}{3}\}$.

Пример 1. Решим $2\sin x=1$ на отрезке $[0,2\pi]$.

Шаг 1. $\sin x=\frac{1}{2}$.

Шаг 2. На единичной окружности два угла в $[0,2\pi]$: $x=\frac{\pi}{6}$ и $x=\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}$.

Шаг 3. Проверка: $\sin\frac{\pi}{6}=\sin\frac{5\pi}{6}=\frac{1}{2}$.

Пример 2. Решим $\cos^2 x=\frac{1}{2}$ на $[0,2\pi]$.

Шаг 1. $\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}$ или $\cos x=-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Шаг 2. Из $\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}$: $x=\frac{\pi}{4}$ или $x=\frac{7\pi}{4}$.

Шаг 3. Из $\cos x=-\frac{\sqrt{2}}{2}$: $x=\frac{3\pi}{4}$ или $x=\frac{5\pi}{4}$.

Шаг 4. Итого четыре решения: $\frac{\pi}{4}$, $\frac{3\pi}{4}$, $\frac{5\pi}{4}$, $\frac{7\pi}{4}$.

Типичные ошибки. Делят на $\cos x$ и теряют корни $\cos x=0$; путают значения $\sin$ и $\cos$ на стандартных углах; забывают второй корень на $[0,2\pi]$.

Дальше. Закрепи отбор корней в тренажёре; затем переходи к заданию №13.