Тригонометрические уравнения

Зачем это в ЕГЭ. Задание №13, 2 первичных балла. Тригонометрические уравнения — самый частый тип (около 70% вариантов ФИПИ). Типичные приёмы: замена на квадратное, разложение на множители, однородные уравнения, формулы двойного угла. Отбор корней на отрезке — пункт б).

Главная идея. Любое тригонометрическое уравнение на ЕГЭ сводится к произведению простейших или к квадратному относительно $\sin x$, $\cos x$ или $\tg x$. Ключевое: не терять корни при делении и не забывать $|\sin x|\le1$, $|\cos x|\le1$ при замене.

Алгоритм (чеклист).
1. Привести к одной функции одного аргумента: $\sin^2 x=1-\cos^2 x$; $\sin 2x=2\sin x\cos x$; $\cos 2x=2\cos^2 x-1=1-2\sin^2 x$.
2. Если видно произведение = 0 — разложить и решить каждый множитель.
3. Если однородное ($a\sin^2 x+b\sin x\cos x+c\cos^2 x=0$) — делить на $\cos^2 x\ne0$, получить квадратное по $\tg x$; отдельно проверить $\cos x=0$.
4. Замена $t=\cos x$ (или $\sin x$): решить квадратное, отбросить $|t|>1$, записать серии.
5. Пункт б): подставить границы отрезка в формулу серии, найти целые $n$.

Опоры (кратко).
- Понижение степени: $\sin^2 x=\frac{1-\cos 2x}{2}$, $\cos^2 x=\frac{1+\cos 2x}{2}$.
- Однородное II степени: делим на $\cos^2 x$, получаем $a\tg^2 x+b\tg x+c=0$.
- Произведение: $\sin x\cdot f(\cos x)=0$ даёт $\sin x=0$ или $f(\cos x)=0$.

Пример 1 (замена, квадратное). $2\sin^2 x+3\cos x-3=0$.

Шаг 1. Замена $\sin^2 x=1-\cos^2 x$: $2(1-\cos^2 x)+3\cos x-3=0$, то есть $2\cos^2 x-3\cos x+1=0$.

Шаг 2. $t=\cos x$: $2t^2-3t+1=0$, $D=9-8=1$, $t_1=1$, $t_2=\frac{1}{2}$. Оба $|t|\le1$.

Шаг 3. $\cos x=1\Rightarrow x=2\pi n$; $\cos x=\frac{1}{2}\Rightarrow x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n$.

Шаг 4. Проверка: $x=0$: $0+3-3=0$; $x=\frac{\pi}{3}$: $\frac{3}{2}+\frac{3}{2}-3=0$ — верно.

Пример 2 (однородное). $\sin^2 x-3\sin x\cos x+2\cos^2 x=0$.

Шаг 1. Проверим $\cos x=0$: $\sin^2 x=0$, значит $\sin x=0$ — противоречие ($\sin$ и $\cos$ не обращаются в ноль одновременно). Значит $\cos x\ne0$.

Шаг 2. Делим на $\cos^2 x$: $\tg^2 x-3\tg x+2=0$, $(\tg x-1)(\tg x-2)=0$.

Шаг 3. $\tg x=1\Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\pi n$; $\tg x=2\Rightarrow x=\arctg 2+\pi n$.

Шаг 4. Для отбора на конкретном отрезке подставляем границы в каждую серию.

Типичные ошибки.
1. Делят на $\cos x$ без проверки $\cos x=0$ — теряют корни вида $x=\frac{\pi}{2}+\pi k$.
2. Не отбрасывают $|t|>1$ при замене $t=\sin x$ — записывают лишние серии.
3. Путают формулы двойного угла — у $\cos 2x$ три формы, нужно выбрать ту, что даёт одну функцию.
4. В отборе берут $n=0$ «по умолчанию» — и пропускают корни при отрицательных $n$.
5. Записывают ответ в градусах — а отрезок дан в радианах.

Дальше. Показательно-логарифмические и смешанные уравнения №13 в тренажёре.