Показательные и логарифмические

Зачем это в ЕГЭ. Задание №13, 2 первичных балла. Показательные и логарифмические уравнения встречаются реже тригонометрических, но требуют безупречной работы с ОДЗ — именно здесь чаще всего теряют баллы из-за лишних или пропущенных корней.

Главная идея. Показательное: привести к одному основанию или замена $t=a^x>0$, получить алгебраическое уравнение. Логарифмическое: записать ОДЗ до преобразований, привести к одному основанию, потенцировать. Смешанное: комбинация замены и логарифмирования.

Алгоритм (чеклист).
1. ОДЗ первым делом: аргументы логарифмов $>0$, основания $>0$ и $\ne1$, знаменатели $\ne0$.
2. Упростить: $\log_a f+\log_a g=\log_a(fg)$ при $f,g>0$; $a^{f+g}=a^f\cdot a^g$; переход к другому основанию.
3. Замена: $t=a^x>0$ или $t=\log_a x$ — решить алгебраически, вернуться к $x$.
4. Каждый корень проверить по ОДЗ — подставить в аргументы логарифмов.
5. Если задание с отбором — дополнительно проверить принадлежность отрезку.

Опоры (кратко).
- $\log_a f=\log_a g\;\Leftrightarrow\; f=g$ при $f>0,\,g>0$.
- $\log_a f=b\;\Leftrightarrow\; f=a^b$ при $f>0$.
- $a^{f(x)}=a^{g(x)}\;\Leftrightarrow\; f(x)=g(x)$ ($a>0$, $a\ne1$).

Пример 1 (логарифмическое с ОДЗ). $\log_2(x+3)+\log_2(x-1)=3$.

Шаг 1. ОДЗ: $x+3>0$ и $x-1>0$, то есть $x>1$.

Шаг 2. $\log_2\bigl((x+3)(x-1)\bigr)=3$, откуда $(x+3)(x-1)=8$.

Шаг 3. $x^2+2x-3=8$, $x^2+2x-11=0$, $D=48$, $x=-1\pm2\sqrt{3}$.

Шаг 4. $x_1=-1+2\sqrt{3}\approx2{,}46>1$ — подходит. $x_2=-1-2\sqrt{3}\approx-4{,}46<1$ — не подходит по ОДЗ.

Пример 2 (показательное с заменой). $4^x-3\cdot2^{x+1}+8=0$.

Шаг 1. Перепишем: $(2^x)^2-6\cdot2^x+8=0$. Замена $t=2^x>0$: $t^2-6t+8=0$.

Шаг 2. $(t-2)(t-4)=0$: $t=2$ или $t=4$. Оба $>0$.

Шаг 3. $2^x=2\Rightarrow x=1$; $2^x=4\Rightarrow x=2$.

Шаг 4. Проверка: $4-12+8=0$; $16-24+8=0$ — оба верны.

Типичные ошибки.
1. ОДЗ записывают после решения — и не замечают, что корень не входит в область допустимых значений.
2. Складывают аргументы вместо перемножения: $\log(A)+\log(B)\ne\log(A+B)$.
3. Забывают $t>0$ при замене $t=a^x$ — принимают отрицательные корни квадратного.
4. Путают $3\cdot2^{x+1}$ и $6\cdot2^x$ — ошибка в раскрытии степени.

Дальше. Смешанные уравнения и полный пакет №13 в тренажёре.