Уравнения смешанного типа

Зачем это в ЕГЭ. Задание №13, 2 первичных балла. Смешанные уравнения — самый «хитрый» подтип: стандартные алгебраические приёмы не работают, и нужно использовать монотонность, оценки или метод мажорант (левая часть $\ge c$, правая $\le c$, равенство в одной точке).

Главная идея. Если разные части уравнения «живут в разных мирах» (показательная и тригонометрическая, логарифм и линейная), то: (1) оценить каждую часть отдельно, (2) найти точку, где обе оценки обращаются в равенство, (3) доказать единственность через монотонность $h(x)=f(x)-g(x)$ или строгость неравенств.

Алгоритм (чеклист).
1. Разделить уравнение на части разной природы.
2. Оценить каждую: $\sin x\le1$, $2^x>0$, $t+\frac{1}{t}\ge2$ при $t>0$ и т.д.
3. Найти точку, где все оценки обращаются в равенство одновременно — это кандидат.
4. Доказать единственность: если $f$ строго возрастает, а $g$ строго убывает, то $f(x)=g(x)$ имеет не более одного корня.
5. Проверить ОДЗ и подставить кандидат в исходное уравнение.

Опоры (кратко).
- Неравенство Коши: $t+\frac{1}{t}\ge2$ при $t>0$, равенство при $t=1$.
- $|\sin x|\le1$, $|\cos x|\le1$; $a^x>0$ для любого $x$.
- Сумма строго возрастающей и строго возрастающей — строго возрастающая.

Пример 1 (метод оценок). $2^x+2^{-x}=2$.

Шаг 1. Замена $t=2^x>0$: уравнение $t+\frac{1}{t}=2$.

Шаг 2. По неравенству Коши $t+\frac{1}{t}\ge2$, равенство при $t=1$.

Шаг 3. Значит $t=1$, $2^x=1$, $x=0$.

Шаг 4. Проверка: $2^0+2^{0}=1+1=2$ — верно. Единственность гарантирована строгостью неравенства при $t\ne1$.

Пример 2 (монотонность). $3^x=4-x$.

Шаг 1. Левая часть $f(x)=3^x$ строго возрастает, правая $g(x)=4-x$ строго убывает. Значит $h(x)=3^x-(4-x)$ строго возрастает, и уравнение имеет не более одного корня.

Шаг 2. Подбор: $x=1$: $3^1=3$, $4-1=3$ — совпало.

Шаг 3. Единственный корень $x=1$.

Шаг 4. Запись для проверяющего: «$f$ строго возрастает, $g$ строго убывает на $\mathbb{R}$, поэтому $f(x)=g(x)$ имеет не более одного решения; $x=1$ — решение; других нет».

Типичные ошибки.
1. Утверждают «единственный корень» без обоснования — нельзя написать «очевидно»; нужна монотонность или строгость неравенства.
2. Забывают ОДЗ — особенно $\sqrt{\cdot}$ или $\log$ в смешанном уравнении.
3. Путают минимум суммы с корнем уравнения — неравенство Коши даёт нижнюю границу; если правая часть равна этой границе, то корень есть; если меньше — нет.
4. Не записывают аргумент монотонности — проверяющий не даст балл за «видно, что возрастает»; нужно: «$3^x$ — показательная с основанием $>1$, строго возрастает».

Дальше. Полный пакет продвинутых уравнений №13 в тренажёре.