Показательные неравенства

Зачем это в ЕГЭ. Задание №15, 2 первичных балла. Показательные неравенства — самый «чистый» подтип: главное правильно определить, $a>1$ или $0<a<1$, и не перепутать направление знака. Часто сочетаются с заменой на квадратное.

Главная идея. При $a>1$ показательная функция возрастает: $a^{f(x)}>a^{g(x)}\Leftrightarrow f(x)>g(x)$. При $0<a<1$ убывает: знак неравенства обращается. При замене $t=a^x$ всегда $t>0$.

Алгоритм (чеклист).
1. Привести к одному основанию: $4^x=(2^2)^x=2^{2x}$, $\left(\frac{1}{3}\right)^x=3^{-x}$.
2. Если обе части — степени одного основания: сравнить показатели с учётом знака ($a>1$ или $0<a<1$).
3. Если виден квадратичный вид — замена $t=a^x>0$: решить неравенство по $t$, пересечь с $t>0$.
4. Вернуться к $x$: $a^x>c$ при $a>1$ даёт $x>\log_a c$ (и наоборот при $0<a<1$).
5. Пересечь с ОДЗ.

Опоры (кратко).
- $a^x>0$ всегда — показательная функция не обращается в ноль.
- $\left(\frac{1}{2}\right)^x=2^{-x}$; из $2^{-f}>2^{-g}$ при основании $2>1$ следует $-f>-g$, то есть $f<g$.

Пример 1 (простое). $3^{2x-1}>27$.

Шаг 1. $27=3^3$, основание $3>1$: $2x-1>3$.

Шаг 2. $x>2$. Ответ: $(2,+\infty)$.

Шаг 3. Проверка границы: $x=2$: $3^3=27$, не строго больше — верно, что $x=2$ не включён.

Пример 2 (замена на квадратное). $4^x-5\cdot2^x+4\le0$.

Шаг 1. $(2^x)^2-5\cdot2^x+4\le0$. Замена $t=2^x>0$: $t^2-5t+4\le0$.

Шаг 2. $(t-1)(t-4)\le0$: $1\le t\le 4$. Оба $>0$ — ограничение $t>0$ не отсекает ничего.

Шаг 3. $2^x\ge1\Rightarrow x\ge0$; $2^x\le4\Rightarrow x\le2$. Ответ: $[0,2]$.

Шаг 4. Проверка: $x=0$: $1-5+4=0\le0$; $x=1$: $4-10+4=-2\le0$; $x=3$: $64-40+4=28>0$ — верно.

Типичные ошибки.
1. Не обращают знак при $0<a<1$ — получают ответ «наоборот».
2. Забывают $t>0$ при замене — и включают отрицательные значения $t$ из квадратного неравенства.
3. Путают

gt;$ и $\ge$ на границе — строгое неравенство не включает граничную точку.
4. Не переводят обратно от $t$ к $x$ — записывают ответ по $t$, а не по $x$.

Дальше. Логарифмические неравенства и смешанные — в тренажёре №15.