Логарифмические неравенства

Зачем это в ЕГЭ. Задание №15, 2 первичных балла. Логарифмические неравенства — самый «ОДЗ-ёмкий» подтип: нужно одновременно следить за знаком основания, положительностью аргументов и направлением неравенства. Метод рационализации (замены логарифмического неравенства на рациональное) существенно ускоряет решение.

Главная идея. При $a>1$: $\log_a f>\log_a g\;\Leftrightarrow\; f>g$ при условии $f>0,\,g>0$. При $0<a<1$: знак обращается — $\log_a f>\log_a g\;\Leftrightarrow\; 0<f<g$. Метод рационализации: $(\log_a f-\log_a g)(a-1)>0\;\Leftrightarrow\;(f-g)(a-1)>0$ при $f>0,\,g>0$, что сводит к рациональному неравенству.

Алгоритм (чеклист).
1. ОДЗ: каждый аргумент логарифма $>0$, основание $>0$ и $\ne1$, знаменатели $\ne0$.
2. Привести к виду $\log_a f\gtrless\log_a g$ (или $\log_a f\gtrless c$, где $c=\log_a a^c$).
3. Перейти к алгебраическому: если $a>1$ — знак сохраняется; если $0<a<1$ — обращается. Или использовать рационализацию.
4. Решить алгебраическое неравенство (метод интервалов).
5. Пересечь с ОДЗ — это критический шаг, где теряется большинство баллов.

Опоры (кратко).
- $\log_a 1=0$: сравнение с нулём $\Leftrightarrow$ сравнение аргумента с $1$.
- $\log_a a^k=k$: перевод числа в логарифм того же основания.
- Рационализация: $(\log_a f-\log_a g)\cdot(a-1)\gtrless 0\;\Leftrightarrow\;(f-g)(a-1)\gtrless 0$ при $f,g>0$.

Пример 1 (основание

gt;1$). $\log_2(x+1)>\log_2(3-x)$.

Шаг 1. ОДЗ: $x+1>0$ и $3-x>0$, то есть $-1<x<3$.

Шаг 2. Основание $2>1$, знак сохраняется: $x+1>3-x$, откуда $2x>2$, $x>1$.

Шаг 3. Пересечение с ОДЗ: $x>1$ и $x<3$. Ответ: $(1,3)$.

Шаг 4. Проверка: $x=2$: $\log_2 3>\log_2 1=0$ — верно; $x=0$: $\log_2 1=0<\log_2 3$ — не выполняется.

Пример 2 (переменное основание, рационализация). $\log_{x-1}(x+3)>1$.

Шаг 1. ОДЗ: $x-1>0$, $x-1\ne1$, $x+3>0$, то есть $x>1$, $x\ne2$.

Шаг 2. Перепишем: $\log_{x-1}(x+3)>\log_{x-1}(x-1)$ (так как $1=\log_{x-1}(x-1)$).

Шаг 3. Рационализация: $\bigl((x+3)-(x-1)\bigr)\cdot\bigl((x-1)-1\bigr)>0$, то есть $4\cdot(x-2)>0$.

Шаг 4. $x>2$. Пересечение с ОДЗ ($x>1$, $x\ne2$): ответ $(2,+\infty)$.

Типичные ошибки.
1. Забывают ОДЗ аргументов — записывают $x>1$ без проверки $3-x>0$.
2. Дважды обращают знак — и при основании $<1$, и при умножении на $-1$.
3. При переменном основании не разбивают на случаи — или не используют рационализацию.
4. Не пересекают с ОДЗ в конце — ответ выходит за область допустимых значений.

Дальше. Смешанные неравенства и полный пакет №15 в тренажёре.