Смешанные неравенства

Зачем это в ЕГЭ. Задание №15, 2 первичных балла. Смешанные неравенства объединяют логарифмические, показательные, рациональные и иррациональные части. Это самый сложный подтип №15: нужно собрать ОДЗ из нескольких условий и корректно свести к рациональному виду.

Главная идея. Объединить ОДЗ всех частей; свести к $F(x)\gtrless 0$ рационализацией или заменой; при иррациональных неравенствах — осторожно с возведением в квадрат (только при неотрицательности обеих сторон). Часто удобнее разбить на случаи, чем возводить в квадрат.

Алгоритм (чеклист).
1. Записать полное ОДЗ: аргументы логарифмов $>0$, подкоренные $\ge0$, знаменатели $\ne0$, основания $>0$ и $\ne1$.
2. Если иррациональность ($\sqrt{A}>B$): разбить на случаи $B<0$ (тогда $\sqrt{A}\ge0>B$ — выполняется при $A\ge0$) и $B\ge0$ (возводим в квадрат: $A>B^2$ при $A\ge0$, $B\ge0$).
3. Если логарифмическо-показательное — рационализация или последовательная замена.
4. Метод интервалов для итогового рационального неравенства.
5. Пересечь с ОДЗ; объединить ветки, если были случаи.

Опоры (кратко).
- $\sqrt{A}>B$: при $B<0$ решение $A\ge0$; при $B\ge0$ решение $A>B^2$ и $B\ge0$.
- $\sqrt{A}\ge0$ всегда; $\sqrt{A}=0\Leftrightarrow A=0$.

Пример 1 (иррациональное). $\sqrt{x+2}>x$.

Шаг 1. ОДЗ: $x+2\ge0$, то есть $x\ge-2$.

Шаг 2. Случай $x<0$: правая часть отрицательна, а $\sqrt{x+2}\ge0$. Неравенство выполняется при $x+2\ge0$ и $x<0$: $-2\le x<0$. Но при $x=-2$: $\sqrt{0}=0>-2$ — верно.

Шаг 3. Случай $x\ge0$: обе части $\ge0$, возводим в квадрат: $x+2>x^2$, $x^2-x-2<0$, $(x-2)(x+1)<0$, то есть $-1<x<2$. С учётом $x\ge0$: $0\le x<2$.

Шаг 4. Объединение: $[-2,0)\cup[0,2)=[-2,2)$.

Шаг 5. Проверка: $x=-2$: $0>-2$ — да; $x=2$: $2>2$ — нет; $x=1$: $\sqrt{3}>1$ — да.

Пример 2 (логарифмическо-рациональное). $\frac{\log_3(x-1)}{x-4}\le0$.

Шаг 1. ОДЗ: $x-1>0$ и $x\ne4$, то есть $x>1$, $x\ne4$.

Шаг 2. Числитель: $\log_3(x-1)=0$ при $x=2$; $\log_3(x-1)>0$ при $x>2$, $<0$ при $1<x<2$. Знаменатель: $x-4>0$ при $x>4$, $<0$ при $x<4$.

Шаг 3. Метод интервалов с точками $2$ и $4$ на ОДЗ $(1,+\infty)\setminus\{4\}$: $(1,2)$ — дробь $\frac{(-)}{(-)}=+$; $(2,4)$ — $\frac{(+)}{(-)}=-$; $(4,+\infty)$ — $\frac{(+)}{(+)}=+$.

Шаг 4. Нужно $\le0$: интервал $[2,4)$. Точка $x=2$ включена ($\log_3 1=0$, числитель $=0$); $x=4$ выколота.

Типичные ошибки.
1. Возводят в квадрат без проверки знака — $\sqrt{A}>B$ при $B<0$ не требует возведения.
2. Теряют ветку $B<0$ — и получают неполный ответ.
3. Не пересекают с ОДЗ — и включают точки, где логарифм не определён.
4. Не объединяют случаи — записывают только одну ветку.

Дальше. Полный пакет смешанных неравенств №15 в тренажёре.