Кредиты

Зачем это в ЕГЭ. Задание №16, 3 первичных балла. Кредит — самый частый сюжет задания. Нужно чётко различать дифференцированную (убывающие платежи) и аннуитетную (равные платежи) схемы и уметь раскручивать рекурсию.

Главная идея. Каждый период: сначала начисляют проценты на остаток $S_k\to S_k(1+r)$, затем вычитают платёж $P_k$. Остаток после $k$-го платежа: $S_k=S_{k-1}(1+r)-P_k$. К концу $n$ периодов $S_n=0$. Для дифференцированного тело долга гасят равными частями; для аннуитета $P=\mathrm{const}$.

Алгоритм (чеклист).
1. Определить схему: дифференцированная (равные доли основного долга) или аннуитет (равные полные платежи).
2. Дифференцированная: $k$-й платёж $=\frac{S_0}{n}+r\cdot S_0\cdot\frac{n-k+1}{n}$. Переплата $=r\cdot S_0\cdot\frac{n+1}{2}$ (арифметическая прогрессия процентов).
3. Аннуитет: $P=S_0\cdot\frac{r(1+r)^n}{(1+r)^n-1}$ или пошагово через рекурсию до $S_n=0$.
4. Если нужно найти ставку $r$ или срок $n$ — составить уравнение из условия $S_n=0$ и решить (подбором или аналитически).
5. Переплата $=nP-S_0$ (аннуитет) или $=\sum P_k-S_0$ (дифференцированный).

Опоры (кратко).
- Проценты за $k$-й период в дифференцированной схеме: $I_k=r\cdot S_0\cdot\frac{n-k+1}{n}$ — это убывающая АП.
- Аннуитетная формула: раскрутка $S_0(1+r)^n=P\cdot\frac{(1+r)^n-1}{r}$.

Пример 1 (дифференцированный, сравнение платежей). Кредит $600\,000$ р., $4$ года, ставка $10\%$. Найти первый и последний платежи.

Шаг 1. Доля тела: $\frac{600\,000}{4}=150\,000$.

Шаг 2. 1-й платёж: $150\,000+600\,000\cdot0{,}1=150\,000+60\,000=210\,000$ р.

Шаг 3. 4-й платёж: $150\,000+150\,000\cdot0{,}1=150\,000+15\,000=165\,000$ р.

Шаг 4. Разница первого и последнего: $210\,000-165\,000=45\,000$ р. Переплата: $(60+45+30+15)\cdot1000=150\,000$ р.

Пример 2 (аннуитет, найти платёж). $S_0=200\,000$, $n=3$, $r=10\%$. Найти $P$.

Шаг 1. $P=200\,000\cdot\frac{0{,}1\cdot1{,}1^3}{1{,}1^3-1}=200\,000\cdot\frac{0{,}1\cdot1{,}331}{0{,}331}=200\,000\cdot\frac{0{,}1331}{0{,}331}\approx80\,423$ р.

Шаг 2. Проверка рекурсией: $S_1=200\,000\cdot1{,}1-80\,423=139\,577$; $S_2=139\,577\cdot1{,}1-80\,423=73\,112$; $S_3=73\,112\cdot1{,}1-80\,423\approx0$ — сходится.

Типичные ошибки.
1. Проценты на весь кредит каждый раз — вместо текущего остатка; переплата завышается.
2. Путают дифференцированный и аннуитетный — в дифференцированном равны доли тела, а не платежи.
3. Неверное число периодов — $n$ месяцев или лет; нужно из условия.
4. Округляют промежуточно — на ЕГЭ числа подобраны, чтобы делилось; если не делится — проверьте ход решения.

Дальше. Вклады и оптимальный выбор — карточки №16 в тренажёре.